应用于岩石强度准则的Lode角形状函数分析
已有很多学者提出了各种Lode角形状函数，如Gudehus和Argyris、William和Warnke、Boswell和Chen、Lade和Matsuoka、Jiang和Pietruszczak、史述昭和杨光华、俞茂宏和刘凤羽等均提出了不同的Lode角形状函数，但在全部三轴拉伸强度与三轴压缩强度比值的范围内，部分模型不能满足光滑且外凸的要求。本研究调研了现有的Lode角形状函数，并对各个模型的特征进行了总结。
为研究各种Lode角形状函数在不同三轴抗拉强度与三轴抗压强度比值k情况下的形状特征，在k为0.5~1，间隔0.1情况下，绘制出不同Lode角形状函数的曲线。图5-2为Gudehus和Argyris建立的Lode角形状函数分布特征，由内向外，k的取值依次增大，可见该模型虽满足光滑性特征，但在k取值较小时，曲线是内凹的，违背了岩石强度准则的Drucker公设。
图5-2 Gudehus和Argyris建立的Lode角形状函数在π平面形状特征
图5-3 Boswell和Chen建立的Lode角形状函数在π平面形状特征
Boswell和Chen建立的Lode角形状函数分布特征如图5-3所示，由内向外，比值k从0.5增大至1，模型形状由三角形变为曲线三角形，最后为圆形；可见该模型满足外凸性要求；但该模型在三轴压缩应力状态，存在尖顶，不满足光滑性的要求。
图5-4 史述昭和杨光华建立的Lode角形状函数g1(θ)在π平面形状特征
图5-5 史述昭和杨光华建立的Lode角形状函数g2(θ)在π平面形状特征
史述昭和杨光华建立的两个Lode角形状函数分别如图5-4和图5-5所示，由图可知，模型满足光滑性的要求，但在比值k较低时，曲线是内凹的，不满足全凸性要求；此外，这两个模型在形状上与MC准则有较好的接近，但是它只能与三个三轴拉伸应力点相交，不能与六个试验点同时匹配。
图5-6 Jiang和Pietruszczak建立的Lode角形状函数g1(θ)在π平面形状特征
Jiang和Pietruszczak建立的Lode角形状函数g1(θ)分布特征如图5-6所示，由内向外，比值k依次为0.5、0.6、0.7、0.8、0.9和1；可见，在f无限趋近于1情况下，当k在0.5~1范围内变化时，该模型形状从三角形变为曲边三角形，最后为圆形，满足光滑且外凸的要求；Lee等（2012）采用该模型，建立了修正MC强度准则MCJP，已被证明对实验数据具有较好的拟合效果，但是该模型在静水压力很小或为负数时，该模型不能维持外凸性。
William和Warnke建立了椭圆型Lode角形状函数，该模型可得到任意直线的椭圆型近似曲线，不同比值k的椭圆型Lode角形状函数形状特征如图5-7所示，由内向外，比值k依次增大，曲线又三角形变为圆形，且均满足光滑和外凸性的要求。Lee等（2012）采用该模型建立了修正三维HB强度准则，张琦等（2013）采用该模型对广义三维的H-B强度准则（广义Zhang-Zhu准则）进行了修正，均对实验数据具有较高的拟合精度。
图5-7 椭圆型Lode角形状函数在π平面形状特征
图5-8 双曲型Lode角形状函数在π平面形状特征
俞茂宏和刘凤羽（1990）提出的双曲型Lode角形状函数在不同比值k情况下的形状特征如图5-8所示，该模型可得到任意直线的双曲型近似曲线，由于双曲函数的特点，该模型必然满足外凸和光滑性的要求；由图可知，该模型形状函数随着比值k的增大，同样由三角形变为圆形。该Lode角形状函数的使用目前仍较为少见，采用该模型修正的强度准则预测效果有待验证。
图5-9 Matsuoka和Nakai建立的Lode角形状函数在π平面形状特征
Matsuoka和Nakai (1974)建立了基于空间滑移面的Lode角形状函数，不同比值k情况下，该模型的形状特征如图5-9所示，可见随着比值k的增大，模型形状由三角形变为曲边三角形，当k增大到1时，模型形状变为正圆形。该模型为Lode角的形状函数，满足光滑和外凸性的要求，由于模型表达式较为复杂，将该模型应用于修正岩石强度准则仍较为少见。
