几何非线性有限元—TL有限元离散格式（CP4）
总拉格朗日有限元格式是在初始构形上，将位移场、虚位移场和位移增量场使用有限元形函数离散，并把非线性平衡弱形式进一步写成节点自由度形式。对内部虚功作线性化后，最终得到由材料刚度和几何刚度共同组成的切线刚度矩阵，并形成Newton–Raphson增量方程。其整体逻辑为以下以二维四节点单元为例进行推导。有限元插值基础应力与应变度量第二Piola–Kirchhoff应力采用Voigt形式表示为Green–Lagrange应变表示为其中第三个分量采用工程剪应变形式。位移场、几何场插值对于四节点双线性等参单元，自然坐标为对应的形函数为单元内部的位移场写成初始构形中的位置向量写成其中，是第个节点的形函数，是单元自然坐标（二维：）。位移梯度位移对初始坐标的梯度为分量形式为其中二维情况下表示第个形函数对初始坐标的偏导表示第个节点位移向量的第个分量表示沿方向移动时，方向位移的变化率等参变换中的Jacobian矩阵实际计算中，形函数首先定义在自然坐标下，因此需要通过Jacobian矩阵将形函数对自然坐标的偏导转换为对初始物理坐标的偏导。Jacobian矩阵根据链式法则因此由此即可得到后续计算中使用的和。有限运动学量的有限元离散变形梯度变形梯度定义为分量形式可写为其中二维变形梯度为Green–Lagrange应变Green–Lagrange应变为整理可得第二P-K应力对于SaintVenant–Kirchhoff材料，第二Piola–Kirchhoff应力为其中，的Voigt形式：平面应变问题中，可以进一步写为：虚应变将虚应变写成Voigt形式：虚应变指标形式推导Green–Lagrange虚应变为分量形式：非线性应变矩阵对于四节点等参单元，虚位移梯度可由节点虚位移插值得到：代入：同理，剪切项为将三个分量统一写成矩阵形式：于是定义第个节点对应的矩阵整个四节点单元的矩阵为从而得到中包含变形梯度，而又取决于当前位移，因此随当前位移状态改变。这正是几何非线性有限元与小变形线性有限元的重要区别之一。非线性平衡弱形式的有限元离散内力虚功总拉格朗日格式中的内部虚功为采用Voigt形式后其中单元内力向量为外力虚功外部虚功为将虚位移插值代入，得到因此其中，是单元外力向量。线性化后的切线刚度为了使用Newton–Raphson方法求解非线性平衡方程，需要对内部虚功进行线性化。内部虚功的一阶增量为其中第一项形成材料刚度，第二项形成几何刚度。材料刚度由于以及因此于是材料刚度矩阵为几何刚度几何刚度来源于其中其分量形式为因此为了将上式整理为“”的形式，先将属于同一位移分量的项分别收集。为了将上式写成矩阵形式，采用系数填表法。对于和对应的项：因此对于和对应的项：因此最终系数填表法行变量取虚位移梯度，列变量取位移增量梯度。原标量展开式中，每一个“行变量列变量”前面的应力分量，就是矩阵对应位置的系数。这样并不是直接猜出应力矩阵，而是由完整展开式逐项凑出矩阵形式。定义以及则其中梯度向量可以进一步通过节点自由度表示为对于第个节点整个单元的几何矩阵为因此于是几何刚度矩阵为总切线刚度材料刚度与几何刚度相加得到总切线刚度矩阵即等参单元的数值积分前面的积分均定义在初始物理域上。对于等参单元，实际积分在自然坐标域内进行，因此面积微元需要通过Jacobian矩阵进行变换：因此，对于初始构形单元域上的一般积分，有后续的内力、材料刚度和几何刚度积分均按照这一方式由初始物理域转换到自然坐标域，再采用Gauss积分进行数值计算。Newton–Raphson增量方程离散后的Newton–Raphson增量弱形式为由于节点虚位移任意，得到实际求解的增量方程其中右端项则第次Newton–Raphson迭代满足更新节点总位移：来源：有限元先生
