175、一文讲透大涡模拟LES的基本原理-与RANS方法的本质区别

本文讲另一条主线，大涡模拟 LES（Large Eddy Simulation）

 

1.1 先看RANS的天花板

RANS 把湍流的全部脉动都交给模型估算，换来的是：网格可以很粗、时间步长可以很大、还能做定常计算，所以成为工程主流。但这是有代价的，对于三类问题，RANS显得力不从心：

1. 关心脉动本身的场合

    气动噪声源于压力脉动，燃烧效率受湍流混合脉动支配，结构疲劳载荷来自流固耦合的脉动压力。但平均场里根本没有这些信息，因此RANS模型只保证了平均得对，不保证脉动得对；  
    
   
    

2. 大尺度非定常主导的场合

    钝体绕流的涡脱落、大分离流动，流动本身的大尺度运动就是最重要的物理，平均化处理把这些都抹掉了，只能靠模型艰难的估计；  
    

3. 模化误差不可控的场合

    RANS 模型的经验常数在特定流动中会失效（163 篇讲过 k-ε 预测射流扩张偏宽约 40% 的经典问题），而且误差多大、偏向哪里，事先并不清楚。  
    

这三类问题共同指向一个念头：能不能少模化一点、多解一点？解到什么程度呢？最彻底的方案是把所有尺度全部直接解出来，那就变成DNS了。

1.2 最彻底的方案：DNS

直接数值模拟（DNS）对原始NS方程不做任何模化，从最大涡到最小涡全部直接解析，物理上最"干净"。但官方文档给出了明确的结论：解析整个尺度谱的代价正比于湍流雷诺数的三次方：

为什么是三次方这么苛刻？直观理解：雷诺数越高，需要解析的最小涡越小，网格必须跟着加密；同时最大涡与最小涡的时间尺度之比也越拉越大，时间步长必须跟着缩小。网格量与时间步数两头同时恶化，叠乘起来就是三次方增长。对高雷诺数的工程问题，这是天文数字，因此DNS 不具备工程可行性。

1.3 LES大涡模拟：分而治之

DNS 算不起、RANS 不够用，LES 在两者之间给出了一个务实的折中：大涡直接算，小涡才模化。这建立在四条理由上：

1. 动量、质量、能量以及其它被动标量，主要由大涡输运

    大涡是主角：它算错了，整个流场的输运就全错，所以必须直接算；  

2. 大涡与具体问题强相关，由流动的几何形状和边界条件决定

    管道里的大涡、机翼后的大涡长得完全不同，因此没有哪个通用模型能提前写出来，只能靠算；  

3. 小涡对几何的依赖弱，更接近各向同性，因而更具普适性

    不管外部几何多复杂，传到小尺度上的湍流都被"搅拌"得差不多了，长得都相似；  

4. 在小涡尺度上找到普适湍流模型的几率大得多

    既然小涡天下大同，一个简单模型就能通吃。  

便于理解，可以类比一下：大涡是主演，台词和走位全由剧本（几何）决定，必须真演；小涡是群众演员，动作高度程式化，排练一次（建一个模型）到处能用。因为只计算大涡，LES 的网格和时间步长都比 DNS 粗得多，所以LES具备工程可行性。

1.4 代价账单与近壁短板

但 LES 也存在一些必须要关注的问题：

• 网格仍显著细于 RANS：LES的网格比DNS粗，但和RANS相比还是要细的多，计算资源自然也要耗费更多；

• 必须算足够长的物理时间： LES 输出的是瞬时场，而工程最终要的是平均量、统计量——平均需要样本，样本就是时间；

• 内存与 CPU 开销比定常 RANS 高几个数量级： 因此官方明确LES工程应用必须依托高性能并行计算。

更麻烦的是最大短板：近壁。越靠近壁面，连"大涡"本身也变小了，所需分辨率随雷诺数增长。经典壁面 LES 只适用于雷诺数很低的流动（Reτ 约 10⁴～10⁵ 量级以下）和有限的计算域。后面的WMLES 系列模型就是为了解决这个问题而产生的。

到这里，LES 的立场已经清楚：只算大涡、模化小涡。但这还是一句口号，要在方程里落地，第一个问题是：数学上怎么把"大"和"小"分开？这就是下一节的滤波。

2.1 滤波：把流场一分为二

LES在数学上的核心操作叫滤波。就是在每个空间点周围取一个特征尺寸为Δ的小邻域，对邻域内的脉动做加权平均，比Δ大的涡被保留下来，比Δ小的涡被抹平。这个Δ称为滤波宽度。

这里有一个最容易混淆、也最关键的区别：滤波不是平均。

RANS的（时间）平均把脉动彻底移除，解出来的是平滑的平均场；即使做非定常RANS，解出的也只是缓慢变化的大尺度平均运动；

 LES 的滤波只是虚化：滤波后的量仍然是随时间、空间变化的瞬态量，只是去掉了小尺度的抖动。正因为滤波后的场还是非定常场的，LES 才能输出脉动信息

那滤波宽度Δ取多大？取多大取决于网格能分辨多细，Fluent让Δ跟随网格走，按单元体积的立方根计算，本质就是能计算多细由网格决定。

2.2 被滤掉的部分不会消失：SGS应力

对NS方程做滤波，线性项（时间导数、压力梯度、粘性项）都能顺利通过，麻烦出在非线性对流项上：乘积的滤波不等于滤波的乘积，于是方程里多出一项：亚格子应力（SGS 应力）。

这个场景似曾相识：101、167 篇讲过，雷诺平均的非线性项产生了雷诺应力；

现在，滤波的非线性项产生了亚格子应力。数学结构如出一辙，只是"平均"换成了"滤波"。物理意义也类似：被滤掉的小涡虽然不再直接出现在方程里，但它们对大涡的"集体作用"必须留下来，否则大涡的演化就是错的。

怎么封闭这项？Fluent 的所有 SGS 模型沿用与 RANS 相同的 Boussinesq 假设，用亚格子湍流粘度μt与可解尺度应变率张量来构造：

其中可解尺度应变率张量定义为：

注：亚格子应力的各向同性部分不做模化，直接并入滤波后的静压项，所以上式只管偏量部分。

2.3 全部问题归结为一个：μt怎么算

把RANS和LES的涡粘封闭并排放在一起看：结构完全同构，唯一的区别是RANS的μt要代偿脉动，LES 的μt只负责"滤掉"的那部分小尺度脉动。LES 的 μt 公式比较简单，简单到不需要解任何附加的微分方程。

有多简单？后面相应的模型会给出答案：

1. Smagorinsky-Lilly：奠基模型，最简单；缺陷--常数 Cs 不普适；

2. Dynamic Smagorinsky-Lilly：让常数自己算，修复Smagorinsky-Lilly的缺陷；但公式骨架的近壁与层流问题没解决；

3. WALE：重写公式骨架，修复Dynamic Smagorinsky-Lilly的问题；成为 Fluent 默认；但近壁分辨率仍存在问题；

4. WMLES / WMLES S-Omega：近壁交给RANS，修复近壁代价；S-Omega 再补分离剪切层与转捩两块短板；

5. Generic Algebraic WMLES：把WMLES / WMLES S-Omega的"近壁 RANS 层"开放给任意代数 LES 模型；

6. Kinetic-Energy Transport：跳出代数框架，给亚格子湍动能建输运方程。

下面我们来逐步看这几种模型

3.1 Smagorinsky-Lilly：奠基模型

最早的 SGS 模型由 Smagorinsky 提出。物理直觉是：小涡的随机搅拌对大涡的作用，就像分子热运动对宏观流动的作用，都是一种"粘性"。既然是粘性，量纲就是 m²/s，而"长度²×应变率"正好是这个量纲，于是涡粘写成：

剩下的问题只有一个：混合长度Ls取多大？Fluent按下式计算：

这个min里的两项各有分工：

Cs·Δ 是基准：小涡尺寸不会超过滤波宽度（网格），所以混合长度以 Δ 为上限，系数 Cs 做修正；

κd 是近壁保险：d 是到最近壁面的距离，κ 是冯·卡门常数。物理上壁面会压制脉动，离壁越近，允许的混合长度越小，这一项保证近壁涡粘不会虚高。

其中 Δ 为当地网格尺度，按单元体积计算，即取单元体积的立方根：

最后只剩常数 Cs。Lilly 在均匀各向同性湍流的惯性子区推导出 Cs=0.23。但这个值很快暴露出问题：在存在平均剪切、转捩流动以及近壁区的流动中，0.23 会过度阻尼大尺度脉动。

研究发现，对于不同的流动，Cs并不是一个固定的常数，这也是这个简单模型最严重的缺陷。实践表明 Cs 取 0.1 左右对很宽范围的流动效果最好，Fluent 默认值即 0.1。

3.2 Dynamic Smagorinsky-Lilly：让常数自己算

既然 Cs 取多少取决于具体流动，最自然的想法就是：让程序根据当下流场把常数自己算出来。这就是 Germano 与 Lilly 的动态过程。

它怎么自己算？已经解析出来的大涡本身就是最好的信息来源。具体做法是给解再套一层更宽的测试滤波（宽度取网格滤波宽度的两倍），得到第二套可解流场。两套场的差，恰好对应"网格滤波与测试滤波之间"那一段尺度的贡献——用这段尺度的能量信息，就能反解出常数 C。打个比方：同一份湍流，用两把不同粗细的筛子各过一遍，两次筛出量的差异里藏着正确答案。

数学上分四步走。第一步，在测试滤波场层面把 SGS 应力写成下式，假设尺度相似性，两式用同一个系数 C：

第二步，网格滤波 SGS 与测试滤波 SGS 之间靠Germano恒等式关联：粗滤波层的 SGS 应力等于细滤波层的 SGS 应力加上两层之间尺度的贡献，其中能直接计算的部分来自可解大涡场：

第三步，把网格滤波层的 Smagorinsky-Lilly 模型代入恒等式，经 Lilly的最小二乘收缩，得到 C 的表达式：

第四步，处理数值稳健性。动态求出的C随时间、空间在相当大的范围内波动，Fluent 默认把 C 截断在0与 0.23 之间，下限保证涡粘不为负，上限来自 Lilly 的理论值。这使得我们无需预设常数，剪切流和转捩区里 Cs会自动降低。

但动态过程公式骨架仍然是 Smagorinsky 的。因此仍然存在两个问题：近壁渐近行为不对；层流剪切流照样产生非零涡粘，即层流区会被人为掺进假湍流。要解决它们，必须换公式骨架。

对于Fluent，在 Subgrid-Scale Model 下选择 Smagorinsky-Lilly。下方的 Dynamic Stress 选项会变为可用，勾选它，Fluent 就会自动启用 Dynamic Smagorinsky-Lilly 模型

3.3 WALE：重写骨架

WALE（Wall-Adapting Local Eddy-Viscosity，壁面自适应局部涡粘）模型从公式结构入手，只有同时具备旋转与变形特征、真正参与亚格子能量交换的涡结构，才会产生涡粘。涡粘表达式：

其中滤波宽度与有效应变项分别定义：

新公式的优点：

常数Cw文献发表值为 0.5，但 Fluent 与原模型开发者在欧盟研究项目中做了系统验证，Cw=0.325一致给出更优结果，因此 Fluent 默认 0.325，也就是界面上的 Cwale 输入框。

Fluent帮助文档明确 WALE 优于 Smagorinsky-Lilly，Fluent 也把它设为 LES 的默认 SGS 模型。

但是WALE 再优秀，也仍是经典 LES：它默认你要解析所有大涡，包括近壁那些几何上很小的。因此它在近壁面处仍然存在问题：

1. 壁面附近谱中最大的涡在几何上也很小，既要加密网格，又要缩小时间步长；
2. 与 RANS 不同，网格不能只沿壁面法向加密，壁面平行平面内的湍流也必须解析，网格量因此爆炸；
3. LES 区域沿壁面方向的尺寸不能超过边界层厚度的10～100 倍，算大域想都别想；
4. 只有雷诺数很低、边界层因低 Re 保持层流的流动才适合经典 LES。

近壁这一层，真的没有捷径吗？有一个务实的观察：对数律区的近壁湍流结构其实高度标准化。既然标准化，何必将它逐涡解析？直接将近壁薄层交给 RANS，外区交给 LES。这就是 WMLES。

3.4 WMLES与WMLES S-Omega：近壁交给RANS

（1）核心思想

代数 WMLES（Shur 等提出）：内层对数层以内用 RANS，外层边界层用改进的 LES 公式。这个分工的妙处在于：边界层内层正是经典 LES 雷诺数依赖性的来源。把它交给 RANS 后，相同的网格分辨率可以直接用于越来越高的雷诺数（槽道流验证）。

注：雷诺数依赖并没有被完全消除，边界层厚度会随雷诺数升高而相对物面变薄，"每个边界层体积"的网格量不变，但边界层体积的总量仍在增加。

（2）公式原理

yShur 模型把三个部件组合起来：混合长度模型、修正 Smagorinsky 模型、Piomelli 壁面阻尼函数。涡粘表达式：

这个公式信息量大，逐项拆开：

•  min[(κdw)², (C·Δ)²]：自动切换开关。dw 为到壁面的距离——离壁近时 κdw 这一项更小，模型走 RANS 混合长度路线；离壁远时 C·Δ 更小，模型走修正 Smagorinsky（LES）路线。一个 min 完成内外层切换，不需要人为划界；

  
  

• |S|：涡粘由可解应变率驱动，只在流动真正变形的地方出现；
  

  
  

• (1−exp[−(y+/25)³])：近壁把 LES 部分平滑压零，y+ 小于约 25 的区域退化为纯 RANS 行为，且过渡是指数光滑的，不产生数值跳变。

还有一个配套修正：LES 区的网格尺度不再取体积立方根，由单元最大边长 Δmax（直角六面体；其它单元类型有推广形式）与壁面法向间距 Δw 组合而成：

为什么要这样修改？因为壁面模化网格在近壁是"薄长条"：法向很细、流向展向很粗。体积立方根 Δ=V^(1/3) 会把这种网格的可解析尺度估得过于乐观，修正后的取法更保守、更符合真实解析能力。

（3）网格分辨率

壁面解析 LES（WRLES）的经典分辨率要求见式：

即流向Δx+≈40、边界层法向约30个网格（Ny）、展向 Δz+≈20（带+号的量表示以壁面摩擦速度无量纲化；Ny 为边界层内的法向网格层数；h 为边界层厚度，槽道流取半槽道高）。WMLES 的要求：

即 Δx≈h/10、法向 30～40 层、Δz≈h/20。注意关键区别：WRLES 的要求以"壁面单位"计，雷诺数越高，同样的 + 号间距对应的物理尺寸越小、网格越密；WMLES 的要求以"边界层厚度"计，不管雷诺数多高，比例不变。

按周期槽道流算：WRLES 的网格量随摩擦雷诺数平方增长，Reτ=1.8×10⁴ 时约需 1.8×10¹⁰ 单元；WMLES 在同样的雷诺数下始终维持约5×10⁵ 单元，相差四个数量级。

但 WMLES 仍然远贵于RANS，一个壁面边界层体积，WMLES 要铺 10×(30-40)×20 ≈ 6000～8000 个网格（流向×法向×展向），RANS 只要1×(30-40)×1 ≈ 30～40 个；RANS 可以做定常，WMLES 必须做非定常且 CFL 控制在 0.3 左右。

（4）WMLES S-Omega：再补两块短板

原始 WMLES 在LES区使用修正 Smagorinsky 模型，有两个已知缺陷：其一，常剪切流中 |S| 不为零，涡粘也就不为零，于是无法计算转捩效应；

其二，在分离剪切层（如后台阶）中会产生过大的涡粘。S-Omega 版本的改法是：把 LES 区中使用的量由应变率 S 换成由应变率与涡量模 Ω 共同构造的量，使常剪切流动的涡粘归零，上述两个缺陷随之消除。

（5）与ELES联用

官方特别推荐的用法：把 WMLES 与嵌入式 LES（ELES）结合——ELES 把 LES 区限制在少数关键区域、其余用 RANS 覆盖；WMLES 则把这种组合扩展到高雷诺数的 LES 区。两者配合，LES 才真正具备工业实用性。

WMLES 的近壁 RANS是搭配固定。如果想继续用自己喜欢的SGS模型（比如 WALE），再给它外挂一个近壁 RANS 层呢？这就是 Generic Algebraic WMLES。

3.5 Generic Algebraic WMLES：可外挂的近壁RANS层

Generic Algebraic WMLES 是 S-Omega WMLES 的扩展，思想是：不动 SGS 模型本身，在外面乘一个混合，近壁区用代数 RANS 模型的涡粘，外区用所选 LES 模型的涡粘，两者按混合函数融合：

混合函数定义为式：

这个混合函数有个性质：它只依赖壁面距离 d 与网格量 Δmax，不依赖流场解，几何和网格定了，混合函数就定了，不会因流场波动而抖动，非常稳健。其中常数 Cw1 与 Cw2 控制 RANS 层的厚度与切换的陡峭程度，默认 Cw1=2.45、Cw2=2。验证表明，这组默认值在宽雷诺数范围、WMLES 可接受的网格上几乎完全消除了对数层失配。

注：对数层失配是 WMLES 类模型的经典毛病，内层 RANS 与外层 LES 的衔接处，速度剖面偏离对数律、鼓出一个包。判断一个近壁处理好不好，看速度剖面贴不贴对数律最直观，见图：

近壁 RANS 区内采用带壁面阻尼函数的混合长度模型，常数取 17、κ=0.41。网格建议：流向 Δx≈h/10、展向 Δz≈h/20；第一层网格尺寸的要求比较灵活，但一般应避免第一层单元中心落在缓冲区。缓冲区指 y+ 约 5～30 的过渡区域，那里的平均剖面既不遵循粘性底层规律、也不遵循对数律，是最难模化的高度，第一层网格中心落进去会让近壁 RANS 层很尴尬。

界面上对应的开关就是 Viscous Model 对话框中的 Near Wall RANS Layer (WMLES) 复选框。

注：用户手册列明该选项对 Smagorinsky-Lilly 与 WALE 子模型可用，理论手册补充说明 Dynamic Smagorinsky-Lilly 亦适用；不支持与 ELES、SBES 联用。

至此，从 Smagorinsky 到 Generic 模型全是代数模型，公式里没有任何微分方程，μt 由当地量直接算出。代数模型的共同隐含假设是局部平衡，这个假设在强非平衡流动中会成为软肋。

3.6 Kinetic-Energy Transport：放弃局部平衡假设

先解释局部平衡是什么：前面所有模型都默认通过网格滤波尺度传下来的能量，在亚格子尺度上当场全部耗散掉，不多不少。后果是μt 只由当地的瞬时状态决定，模型没有记忆，上游发生了什么、能量是正在积累还是正在衰减，模型一概不知。

在强非平衡流动（剧烈分离、快速应变区）中，这个假设明显失真。Kim 与 Menon 的动力亚格子动能模型给出了另一条路线：给亚格子湍动能 ksgs 建立输运方程，让亚格子能量有生成、有输运、有耗散，携带历史信息。Fluent 的实现中，ksgs 定义为：

亚格子涡粘由 ksgs 计算：

ksgs 通过求解其输运方程得到，形式上与 RANS 的 k 方程（163 篇）相似，但尺度是亚格子的：

模型常数由动态过程确定，其中 Cε 被硬编码为 1.0。界面上这个模型叫 Kinetic-Energy Transport（动能输运），并可启用 Dynamic Energy Flux 与 Dynamic Scalar Flux 选项。

至此，小涡怎么模化有了完整答案。但 LES 与 RANS 还有一件事本质不同没有处理：RANS 从不操心入口，平均量给进去就行；LES 解的是瞬时场，湍流脉动从哪里进来？

关于LES模型入口边界条件湍流脉动怎么给，我们下一篇文章再详细讲解。下面我们来看看FLuent LES模型的界面设置

打开 Setup → Models → Viscous → Viscous Model 对话框，选择 Large Eddy (LES)：

对照上图逐项说明，每一项都与前面的内容对应：

• Viscous Model 中选择 Large Eddy：启用 LES；

• Subgrid-Scale Model 下拉框：五选一，默认 WALE。

  选型参考：  

  Smagorinsky-Lilly 适合教学与对比基准（常数需人工调）；

  WALE 是通用首选（Fluent 默认）；

  WMLES 适合高雷诺数壁面流动；

  WMLES S-Omega 在关注分离剪切层与转捩时更合适；

  Kinetic-Energy Transport 适合强非平衡流动；

  


• Near Wall RANS Layer (WMLES) 复选框

  即 Generic Algebraic WMLES，仅 Smagorinsky-Lilly 与 WALE 子模型可用；  
  
   

• Near-Wall Treatment 近壁处理

  三选一：Kader blending Wall Functions（当前默认）、Harmonic blending Wall Functions based on r+（文档推荐）、Werner-Wengle Wall Treatment负责粘性底层与对数律之间的近壁衔接；  
  
   

• Cwale 输入框：选 WALE 时出现，默认 0.325。

（1）求解的结果不同：RANS 解平均场，无法求解脉动；LES 解滤波后的瞬态场，大涡真实演化。LES 能给出脉动、湍流结构、声源信息，RANS 只能给出平均量。

（2）代价不同，且差距悬殊：网格方面，LES每个边界层体积 WMLES需要000～8000 个 vs RANS需要30～40 个；时间方面，LES 必须非定常、CFL≈0.3、还要累计足够长的统计时间，RANS 可定常一步到位；LES内存与 CPU 高出几个数量级，必须并行。

（3）入口要求不同：RANS 给平均量加两个湍流参数即可；LES 需要生成真实的入口脉动，入口剖面要靠前置 RANS 提供。

具体怎么选择，这里给大家一些建议：

• 只要平均量、预算有限：RANS （k-ε、k-ω、RSM），最划算的选择；
  

  
  

• 如果必须LES，则：
  

  壁面不重要或边界层为层流，经典 LES + WALE（默认模型）；

  高雷诺数壁面流动、关注分离与脉动，WMLES / WMLES S-Omega，或 WALE 加 Near Wall RANS Layer；

  只有局部区域需要 LES → ELES 与 WMLES 联用，把 LES 区限制在关键区域；
  

  强非平衡流动、需要亚格子能量历史 → Kinetic-Energy Transport；

湍流系列文章，这篇文章写的是最费劲的，也是耗时最长的，全文7500字，反复修改琢磨了一周多的时间，所以发布时间晚了一些，望大家见谅