几何非线性有限元—应力度量
Cauchy 应力、第一 Piola–Kirchhoff 应力、第二 Piola–Kirchhoff 应力和 Kirchhoff 应力描述的是同一个材料点的受力状态。它们的区别不在于物理受力不同，而在于采用的面积、体积和方向属于哪个构形。
设：
初始构形中的材料点坐标为 ； 当前构形中的空间坐标为 ； 变形梯度为 ； 体积比为 ； 初始面积和法向分别为 、 ； 当前面积和法向分别为 、 ； 同一微小截面上的实际力为 。
Cauchy 应力使用当前面积定义真实面力
当前构形中的面力向量定义为
其中， 为 Cauchy 应力张量。微小截面上的实际力为
Cauchy 应力张量具有对称性：
Cauchy 应力的物理意义
不是某一个固定截面上的面力，而是从当前截面法向 到该截面完整面力 的映射。 一般同时包含法向分量和切向分量。
可联想到二阶张量对向量的线性映射作用
第一 P–K 应力
同一个实际力 也可以除以初始面积 ，定义名义面力向量
其中， 为第一 Piola–Kirchhoff 应力张量(the first Piola–Kirchhoff stress tensor)。
第一P-K应力可通过[[5. 变形梯度决定局部体积与表面积的变化#^471c23 | Nanson公式]]推导得到：
第一P-K应力推导过程
代入 Cauchy 面力公式：
最终得到：
第一 P-K 应力完成的映射是
其基底表示为
其中：
为初始构形基向量； 为当前构形基向量； 表示将初始方向 映射到当前力方向 的系数。
第一 P-K 应力作用于初始法向时
因此分量形式为
为什么第一 P-K 应力一般不对称？ 的第一个下标 属于当前构形，第二个下标 属于初始构形。两个下标的物理角色不同，不能直接交换，因此一般不存在 。这种非对称性来自其混合构形性质。
第二 Piola–Kirchhoff 应力
为了将当前力方向也拉回初始构形，定义第二 Piola–Kirchhoff 应力(the second Piola–Kirchhoff stress tensor)
变形梯度的逆映射为
它从当前方向 提取分量，并向初始方向 输出。
将 与 展开，有
定义
于是
此时两个基向量 和 都属于初始构形，因此第二 P-K 应力完全以初始构形描述。
将第一 P-K 应力的变换关系代入，可得
得到
若 Cauchy 应力对称，则
因此，第二 P-K 应力通常是对称张量。
第二 P-K 应力的作用
构造 的目的不是单纯消除 的非对称性，而是将应力的两个方向都放回初始构形，使其能够与 Green–Lagrange 应变 配对（功共轭），并在总拉格朗日格式中统一使用初始构形积分。
Kirchhoff 应力将体积变化吸收到应力中
由 Cauchy 应力与第二 P-K 应力之间的关系
可见 显式依赖变形。为避免在空间形式的变换和线性化中反复携带该分母，定义 Kirchhoff 应力
Kirchhoff 应力仍然以当前构形方向表示，但其数值已经吸收了当前体积相对于初始体积的变化。
当前体积与初始体积满足
因此，当前构形中的内部虚功可以改写为初始区域上的积分：
其中， 表示由虚位移产生的空间虚应变：
为什么右端可以在初始构形上积分？
原因是积分测度通过 完成了变量变换，并不是因为 已经变成完全属于初始构形的张量。 和 的方向仍属于当前构形，只是积分区域改写为对应的初始材料点区域。
