几何非线性有限元—极分解

对于非奇异变形梯度     ，极分解可以写为

其中：

•      ：正交张量，满足       
•      ：右拉伸张量，为对称正定张量
•      ：左拉伸张量，为对称正定张量

对于给定的非奇异     ，    、     和      均唯一。当  时，     为刚体转动张量。

通过将变形梯度    按照上述分解，可以将局部变形描述为为纯拉伸与刚体转动。

上式可以进一步转化：

因此，     与      具有相同的特征值，但特征向量不同。

右拉伸张量与右 Cauchy–Green 变形张量

将      代入右 Cauchy–Green 变形张量中：

可进一步得到：    

    与      具有相同的特征向量，其特征值满足

通过谱分解计算右拉伸张量

设右 Cauchy–Green 变形张量      的特征值矩阵和特征向量矩阵分别为

    的谱分解为

由于

因此

极分解的物理意义

初始构形中的无穷小线元      经过变形后变为    

利用右极分解：

其变形顺序为：

1.       沿初始构形中的主方向进行纯拉伸
2.       进行刚体转动

利用左极分解：

其变形顺序为：

1.       进行刚体转动
2.       沿当前构形中的主方向进行纯拉伸

为什么        表示先拉伸再旋转？

矩阵对向量的作用是从右向左：

 

 

因此，     先作用于     ，随后      再作用于拉伸后的线元。

1.       的主方向属于参考构形，       的主方向属于当前构形
2.       与        的主伸长        相同，但主方向相差一个刚体转动       
3. 刚体平移不包含在变形梯度中。若局部运动写为       ，则对线元求微分后有       ，平移项        消失