几何非线性有限元—Euler–Almansi 应变

Euler–Almansi 应变

当前构形中的无穷小线元      与参考构形中的无穷小线元      满足

变形前后线元长度平方之差为

定义左 Cauchy–Green 变形张量

Euler–Almansi 应变张量定义为

    以当前构形为参考，描述当前空间方向上的长度和夹角变化

Euler–Almansi 应变与空间位移梯度

Euler–Almansi 应变可以进一步写为

其中：

   中    为线性项，    为空间位移梯度二次项

Lagrangian、Eulerian 与小应变的对比

初始矩形尺寸为     ，变形后逆时针旋转     ，原      方向长度变为     ，原      方向长度变为      ：

采用四节点双线性形函数，参考构形与当前构形的坐标映射分别为

变形梯度为

验证变形梯度对初始线元的映射：

从这个结果可以联想到二阶张量是对向量的线性映射

Green–Lagrange 应变

    以初始构形为基准：原      方向拉伸，原      方向压缩，无剪切变形

Euler–Almansi 应变

    以当前构形为基准：当前      方向压缩，当前      方向拉伸，无剪切变形

小应变张量

节点位移经形函数插值得到

位移梯度为

小应变张量为

小应变张量错误地表示原     、     两个方向均发生压缩，同时产生了虚假的剪切应变

1. Green–Lagrange 应变和 Euler–Almansi 应变均能排除刚体转动，二者描述的是同一变形，但参考构形不同
2. Green–Lagrange 应变中的分量对应初始构形方向，Euler–Almansi 应变中的分量对应当前构形方向
3. 小应变张量不能处理有限刚体转动，会产生虚假的正应变和剪切应变