第94夜 | 能量法9：功互等原理
地点：力学研讨室。人物：
小生：迫不及待地拿着笔记本，等待着昨夜的谜底。 老师傅：在黑板上画下了一个形状极其不规则的弹性体。
1. 状态函数的特性：能量不论出身
小生：师傅，昨晚那个简化版的互等定理推导真是绝了，我到现在都还记得红绿两个三角形抵消，最后剩下两个交叉矩形面积相等的画面。 不过您说那只是“同一点同方向”的特殊情况。如果面对的是真实工程里那种乱七八糟的复杂受力，比如起重机吊臂上既有风载荷、又有自重、还有吊载，作用在各个不同的点上，互等定理还能成立吗？
老师傅：问得好！要迈向广阔天地，我们首先要明确一条线弹性力学中的基本原理。 你看，假设这个复杂的弹性体上要承受 个力。如果施工队今天有空，三个力同时慢慢往上加；或者明天换个方案，先加两个力，吃完饭再加第三个力…… 小生，你觉得这两种不同的加载顺序，会导致这块钢板最终的变形和内部蓄积的能量不同吗？
小生：这……既然我们研究的是线弹性范围，材料没有屈服，没有永久的塑性变形……那它就像一个理想的弹簧床垫，不管你是谁先躺上去谁后躺上去，只要最后大家都躺在上面，床垫凹陷的形状和里面储存的弹性势能应该是一模一样的吧？
老师傅：理解得很到位！这就是路径无关性。材料力学中，当弹性体受多个力作用时，其最终的应变能 只取决于受力的最终状态，与加载次序无关。 有了这条基本性质保驾护航，我们就可以开始真正的推导了。
2. 分组对抗：正向路径的交叉功
老师傅：为了应对成百上千个力，我们将它们分为两组进行考察。 我们设第一组力为 ，设第二组力为 。它们作用在弹性体完全不同的位置，方向也各不相同。 现在，我们走路径一：先加第一组，后加第二组。 第一步，先缓慢施加第一组力 。此时的总能量是多少？
小生：假设它们各自产生的位移是 和 ，那它们各自做三角形的自做功，能量就是：
老师傅：第二步，保持 满值不变，开始施加第二组力 。
首先，第二组力自己登场，肯定要产生它们自己那份三角形的自做功，也就是 。 但同时，第二组力的施加，会导致整个弹性体扭曲变形。这就让原本就在场上的 和 的作用点，也跟着产生了额外的位移。
小生：我明白，这就是昨晚说的“搭便车”位移！ 为了跟自身的位移区分开，我们给这些由第二组力引起的、发生在第一组力方向上的额外位移打上撇号，记作 和 。 这个时候，第一组力是保持满值的，所以它们做的附加矩形功就是：
老师傅：思路很清晰。你把它们全加起来，路径一的最终总应变能 就诞生了：
3. 逆转时空：反向路径与终极对消
老师傅：好，现在让弹性体恢复原状。我们走路径二：先加第二组，后加第一组。 你来依葫芦画瓢。
小生：第一步，先加第二组 ，它们产生三角形自做功： 。 第二步，保持它们满值，施加第一组力 。 第一组力产生自己的三角形自做功： 。
老师傅：接下来呢？轮到谁搭便车了？
小生：这次轮到第二组力的作用点“搭便车”了！第一组力的施加，让第二组力的作用点产生了额外位移，我们记作 和 。 此时第二组力保持满值，所以它们做的附加矩形功是：
把它们全加起来，路径二的总应变能 是：
老师傅：最激动人心的收网时刻到了。根据弹性体的性质，无论按哪种次序加载，最终应变能必须相等，即 。
小生：我把两个长长的等式划上等号。 您看！等式两边的四个带有 的三角形自做功项，全都是一模一样的，全部抵消掉了！ 最后剩下来的，只有那些没有系数的交叉功！
4. 一般化互等定理的广阔天地
老师傅：这就是一般化之后的功的互等定理（Reciprocal Work Theorem）。 不用任何数学公式，用最朴素的力学语言把它翻译出来就是：第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。能量的流转，总是保持着这样精妙的平衡，无论弹性体长什么样，不管这两组力距离多远，不管它们之间是弯曲、扭转还是拉压的混合传递。
小生：师傅，这个一般化的互等定理我彻底明白了。不管是多复杂的结构、多复杂的受力，交叉做功总是相等的。 但是……这跟我们前两天讲的卡氏定理 到底有什么直接的关系呢？为什么有了互等定理，卡氏定理在多载荷下就合法了？
老师傅：这是一个直击核心的好问题。互等定理本身是一座桥梁，它向我们展示了能量在交叉影响中的对称性。但要跨过这座桥走向卡氏定理，我们还需要在数学上做最后一步精妙的跨越。今晚你先把互等定理的物理图景消化好，下一讲，我就专门为你揭开互等定理与卡氏定理之间的最终羁绊。
