第87夜 | 能量法2：不同杆件变形能量表达式
地点：力学研讨室。人物：
小生：把玩着手里的一根圆珠笔里的弹簧。 老师傅：在黑板上画下了一根变截面的阶梯轴和一根受弯的悬臂梁。
1. 微积分的介入：打破均匀的理想态
老师傅：上一夜，我们利用功能关系 ，仅仅通过一行代数式，就降维秒杀了复杂的桁架位移问题。你还记得单根均匀拉压杆内部储存的弹性应变能公式吗？
小生：记得很清楚！我们把它等效成了一根刚度为 的弹簧。
根据弹簧势能公式 ，代入进去就得到了拉压杆的应变能：
老师傅：很好。但这只是温室里的花朵。工程中，我们经常遇到变截面的阶梯柱，或者受到分布轴向力（比如自重）作用的深井悬索。这时候，轴力 和截面积 都是随位置 变化的变量，你还能直接套用这个公式乘总长吗？
小生：一旦有变量，就不能直接乘总长度 了……师傅，我懂了！我们祭出微积分的“切微段”大 法！ 在杆件上任取一个长度为 的极短微段。在这个微段内，轴力和面积可以看作是常数。所以，这个微段储存的微应变能就是：
然后对整根杆的长度 进行积分，就把所有的能量累加起来了：
2. 扭转的弹簧：寻找旋转的刚度
老师傅：非常漂亮。但是小生，结构除了拉伸和压缩，还会扭转，还会弯曲。难道遇到扭转和弯曲，我们的能量法就束手无策了吗？
小生：既然拉压杆可以等效成弹簧，那扭转轴和受弯梁……在纯弹性范围内，它们的力与变形也成正比，理论上也能等效成某种“弹簧”吧？
老师傅：正是如此。这就是线弹性系统的美妙之处：万物皆可为弹簧。 我们先看圆轴扭转。扭矩 导致了扭转角 。根据我们之前学的公式， 。你试着把它变成弹簧公式 的形式。
小生：把扭矩看作“力”，把扭转角看作“位移”。移项得到 。 这就相当于一根旋转弹簧！它的等效刚度就是 ！ 套用弹簧能量公式 ，纯扭转的应变能就是 。 如果扭矩和截面是变化的，直接换成积分形式：
3. 弯曲的破解：隐藏在导数里的能量
小生：师傅，拉压和扭转比较直观，但梁的弯曲那么复杂，挠度曲线弯弯曲曲的，也能等效成弹簧吗？
老师傅：遇到复杂问题，我们要回归最基础的微分方程。小生，你还记得梁的挠曲线近似微分方程是什么吗？
小生：记得，是 。
老师傅：很好。那你再想想，挠度 对位置 的一阶导数 ，在几何意义上代表什么？
小生：一阶导数……代表曲线的切线斜率，也就是梁横截面的转角 ！所以方程可以写成 。
老师傅：思路很通透。把它变形一下，把 乘到右边去。
小生：得到 。
老师傅：假设这是一段受纯弯曲的梁，弯矩 在全长上是个常数。你对两边在长度 上同时积个分看看？
小生：因为 都是常数，积分出来两端的相对转角就是 。
老师傅：现在，答案就在你手里了。你试着把它写成弹簧公式 的形式，找找看，这里的弹簧刚度隐藏在哪里？
小生：我把公式反写，把弯矩 提出来： 。如果把弯矩 看作广义的“力”，把转角 看作广义的“位移”……师傅！这里的抗弯旋转弹簧刚度就是 ！ 同样套用能量公式 ，纯弯曲的应变能就是 。 如果弯矩是随位置变化的，那它最常用的微段积分公式就是：
4. 万物归宗：广义力与组合变形的大一统
老师傅：太精彩了。你亲手推导出了材料力学三大基本变形的终极能量公式。 现在，我们退后一步，站在更高的维度来看看你写下的这三组对应关系：
拉压：轴力 对应 线位移 扭转：扭矩 对应 角位移 弯曲：弯矩 对应 角位移 为了在力学乃至未来的物理学中统一描述它们，前人发明了一组高级概念——广义力 与 广义位移 。
小生：也就是说，不论是拉力、推力、还是扭转的力偶、弯曲的力偶，统统都可以用一个抽象的符号 来代表？
老师傅：没错。而它们所引发的长度伸缩、扭转角度、弯曲转角，统统用广义位移 来代表。 在线弹性范围内，外力缓慢加载所做的功 ，以及系统内部储存的应变能 ，永远可以浓缩成一个极致简洁的统一场方程：
小生：这个公式太优美了，它直接超越了具体的形状和受力方式。但是师傅，如果一根杆件同时受到了拉力、扭转和弯曲，变成了组合变形，那它的总能量该怎么算？会产生复杂的交叉影响吗？
老师傅：这是一个直击灵魂的好问题。 答案是：不会交叉影响。在微小变形的前提下，截面上存在的拉、扭、弯等各种内力，以及它们对应的位移，是相互独立、完全正交的。 轴力绝不会让杆件发生弯曲转角，弯矩也绝不会让杆件发生扭转。所以，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。 因此，组合变形的总应变能，就是三大基本变形能量的完美标量叠加：
小生：没有干涉，互不干扰，直接相加！这说明能量不仅没有方向，还能完美兼容各种受力状态！
老师傅：正是如此。今晚，我们把材料力学所有的变形能量彻底打通了。现在你手里握着这把名为“功能关系”的万 能钥匙，下一夜，我们就在最复杂的受弯梁上试一试它的锋芒，看看如何用能量的等式，去解开那些隐藏在静力学迷雾背后的变形之谜。
