第86夜 | 能量法1：求解老问题的新思路
地点：力学研讨室。
人物：
小生：揉着太阳穴，桌上堆满了画满辅助线和三角函数的草稿纸。 老师傅：端着茶杯走过来，轻轻敲了敲桌子。
1. 几何的迷宫：为何引入能量法？
老师傅：小生，咱们前面讲了那么多截面几何性质和应力分析，今晚我们要换个维度，讲讲求解结构位移的能量法。
小生：师傅，咱们之前不是学过求位移的几何法吗？为什么还要专门去学什么能量法呢？
老师傅：因为当结构稍微复杂一点时，几何法就会变成一座极易迷失的迷宫。咱们用一道以前讲过的经典题目来回顾一下。 你还记得那个两杆桁架的题目吗？水平杆 和斜杆 在节点 B 处铰接，B 点受到一个竖直向下的外力 ，要求节点 B 竖直向下的位移。
第23夜：坐标系的魔法——如何“锁死”消失的节点（作业2第二题代数方法）？
小生：这题我印象太深了！那次算得我头晕眼花。 解题的要点是：首先取节点 B 进行静力平衡分析，求出水平杆 的拉力 ，以及斜杆 的压力 。然后再根据胡克定律 ，分别算出两根杆各自的长度变化量。代入已知数据后，算得水平杆伸长了 ，斜杆缩短了，其变形量为 。
最痛苦的就是最后一步求节点 B 的坐标位移。必须利用位移投影和伸长量的关系去列方程组：B 点的实际位移向量，在水平杆方向的投影等于 ，在斜杆方向的投影等于 。 方程列出来是 以及 。只要辅助线画歪一点，或者三角函数的正负号写错一个，这道题就全盘皆输了。
2. 另辟蹊径：功能关系的启发
老师傅：你总结得很准确。传统的几何投影法是“矢量法”，必须死死盯住方向、角度、正负号，非常繁琐。 但是，你仔细观察一下这道题，我们要学的能量法之所以能大显身手，是因为这道题有一个常见的需求——我们要求 B 点竖直向下的位移 ，而外加的载荷 恰好也是竖直向下的！当要求的位移和已知载荷在同一个方向上时，从物理学的角度，这应该启发你想到什么切入思路？
小生：力和位移在同一个方向上……这不就是做功吗？！ 我懂了，切入思路应该是功能关系！根据能量守恒定律，外力在缓慢加载过程中对系统做的功，等于系统内部储存的弹性势能的增加量！
老师傅：一点就透。那么，这个功能关系的等式，你能列出来吗？
小生：外力做功好算，因为是缓慢加载，力从 0 线性增加到 ，所以外力做的功 。 但是……等号右边的系统弹性势能，我卡壳了。师傅，我知道单根杆的伸长量，但我不知道怎么算整个桁架系统内部到底储存了多少弹性势能啊？
3. 弹簧的类比：拉压杆的弹性势能
老师傅：不知道怎么算，我们就找一个最熟悉的参照物来类比。 如果你用力 去拉一根刚度为 的线性弹簧，把它拉长了 ，这根弹簧内部的弹性势能公式是什么？
小生：这个基础物理学过，弹簧的弹性势能 。因为 ，它还可以写成 。
老师傅：完全正确。现在你把思路切换到我们的材料力学里。任意一根承受轴力 作用的拉压杆件，它本质上不就是一根线弹性弹簧吗？它的等效弹簧刚度 是多少？
小生：根据拉压变形公式 ，我们把它变形一下，写成力等于某项乘以位移的形式，也就是 。对比弹簧的 ，力等于刚度乘以位移，所以拉压杆的刚度 ！
老师傅：好，把这个刚度 代入你刚才写的弹簧势能公式 中。
小生：我代进去…… 。 师傅！这就是单根拉压杆内部的弹性势能表达式！
4. 降维打击：能量法求解位移
老师傅：既然单根杆的势能有了，那整个桁架系统的总弹性势能怎么算？
小生：能量是标量，没有方向！所以整个系统的总弹性势能，直接把两根杆的势能加起来就行了！
老师傅：万事俱备，用你的功能关系求解这个问题吧。
小生：外力做功等于系统总弹性势能：
在这个等式里， 是已知的外力， 是算出来的轴力， 全是已知参数。唯一的未知数就只有 ！ 我把等式两边的 约掉，把 除过去：
把前面的数据代入进去算一下……得出 。 师傅，这太神奇了！没有画任何辅助线，没有列任何复杂的几何投影方程，仅仅凭借一个标量的能量等式，位移就自动求出来了！
老师傅：这就是能量法的威力，我称之为针对矢量几何的降维打击。 总结一下：对于线性弹性系统，当我们需要求解在单一外力作用方向上的位移时，利用“外力做功等于系统应变能”这一功能关系，可以直接避开所有繁琐的几何投影，通过纯代数运算一击即中。这是针对拉压杆的能量方法下一夜，咱们看看能量方法如何求解轴扭转和梁弯曲问题。
