作业10-5答案 试用第三强度理论校核杆的强度
题目
图中主要尺寸为：左支承到左控制片距离 ，左控制片到右支承距离 ，右支承到右控制片距离 。因此两支承间距 ，右控制片到左支承距离 。左控制片力臂为 ，右控制片力臂为 ，右控制片受力 与竖直方向夹角为 。
解答
核心思路
本题为弯扭组合强度校核问题。水平杆同时承受：
平面内弯曲，对应弯矩 ； 平面内弯曲，对应弯矩 ； 绕 轴的扭转，对应扭矩 。
由于 和 是两个互相垂直方向的弯矩，所以危险截面的合成弯矩为：
第三强度理论为：
对空心圆轴，有：
且：
因此：
代入第三强度理论：
整理得：
所以只要确定危险截面处的合成弯矩 和扭矩 ，即可校核强度。
1. 求
绕 轴列力矩平衡方程。左控制片 产生的扭矩为 ，右控制片 产生扭矩的有效分量为 ，力臂为 。
由整体绕 轴的合力矩平衡：
代入 ：
得：
因此：
2. 求支反力
2.1 平面内支反力
在 平面内，参与弯曲的是 的 向分量：
该力作用在 点，距左支承 为 。
设支座 、 在 方向反力分别为 、 。取 方向为正。
由合力平衡：
对 点取矩，逆时针为正：
得：
再由合力平衡得：
所以 处反力实际方向与 方向相反，大小为 。
2.2 平面内支反力
在 平面内，参与弯曲的是 以及 。
其中， 作用在 点，距 为 ； 作用在 点，距 为 。
设支座 、 在 方向反力分别为 、 。
由合力平衡：
按照图中受力方向，有：
对 点取矩，逆时针为正：
解得：
再由合力平衡得：
即 处反力大小为 ，方向与所设正方向相反； 处反力大小为 。
3. 求弯矩
3.1 平面内弯矩
由 平面弯矩图可知，在 点，即 位置：
在 点，即右支承位置：
因此 平面内较大弯矩为 。但在危险截面判断时，需要与同一截面处的 组合，所以要分别比较 点和 点附近截面。
3.2 平面内弯矩
由 平面弯矩图可知，在 点，即 位置：
在 点，即 位置：
4. 确定危险截面
由于弯矩 由 和 合成，且 与 相互垂直，所以：
4.1 在 位置，即 截面
该截面处：
所以：
4.2 在 位置，即 截面
该截面处：
所以：
比较可知：
因此危险截面在 位置，即 截面。
危险截面处合成弯矩为：
5. 求扭矩
由前面 的求解可知，左右控制片对杆产生的扭矩大小相等、方向相反。
左控制片扭矩为：
即：
该扭矩作用在两控制片之间的杆段内，危险截面 位于该杆段内，因此危险截面处：
6. 截面几何性质
空心圆截面外径为 ，内径为 。
记：
抗扭截面系数为：
抗弯截面系数为：
即：
由于：
所以第三强度理论中：
7. 按第三强度理论校核
危险截面处：
第三强度理论：
其中：
所以：
整理得：
又因为：
所以：
将 、 从 换算为 ，即乘以 ，有：
计算得：
8. 强度校核结论
由于：
而：
所以：
因此：
最终结果为：
所以该操纵装置水平杆安全。
