第75夜 | 压感稳定2：临界应力与欧拉公式推导
地点：力学研讨室。昨晚那截被压弯的钢锯条还静静地躺在桌上。人物：
小生：面前摆着一张大白纸，正准备迎接一场硬核的数学风暴。 老师傅：在黑板上画下了一根两端带有铰链的细长压杆。
1. 捕捉“微弯”的瞬间：列出平衡方程
小生：师傅，上一讲您说临界压力 是压杆失稳的生死分水岭。可是，这个 到底是怎么得来的？我们该怎么用公式把它算出来呢？
老师傅：好问题。要找出它，我们必须让时间定格在压杆刚好从直线变成微弯的那个瞬间。 你看黑板。假设这根两端铰支的细长杆，在压力 作用下刚好发生了“微弯”。我们以底端铰支座为原点 ，建立坐标系： 轴沿杆件向上， 轴水平向左。 现在，我们要在距离底端为 的地方切一刀，假设这里的侧向挠度是 。小生，你试着列一下，这个截面上的弯矩 应该是多少？
小生：我看看……截面上方受到的外力只有一个向下的压力 。这个力偏离了原本的直线轴线，偏心距刚好就是挠度 。所以弯矩的大小肯定是 。
老师傅：大小对了，那正负号呢？仔细回想一下我们在弯曲变形那一章里，对弯矩和挠曲线符号的规定。
小生：先看杆的弯矩（“内力”），这里我们可以把图横过来看，弯矩 使隔离体产生笑脸弯曲为正向，所以 取正号。
全局方向，我们可以以逆时针旋转为正向，这样杆的弯矩 和这个偏心力 产生的弯矩 都会让压杆逆时针旋转，所以应该是：
老师傅：非常严谨！现在，把你列出的弯矩，代入到我们熟悉的压杆挠曲线近似微分方程 中。 （注：因为压杆总是绕抗弯能力最弱的轴失稳，所以公式里的 是横截面的最小惯性矩）。
小生：代入进去就变成了：
2. 跨越数学的迷雾：解微分方程
老师傅：很好。为了让它看起来像个标准的数学方程，我们把等号右边的项移到左边，并且为了书写方便，令常数部分 。
小生：那方程就变成了：
师傅，这方程我在《高等数学》里学过，是一个二阶常系数齐次线性微分方程！
老师傅：既然学过，那我就考考你，试着解一下它。
小生：没问题！我们假设方程的解是指数形式 。把它代入方程，求两次导，就会得到特征方程：
把 约掉，特征方程就是： 。 （小生在纸上算了一下，突然愣住了） 等等，师傅…… ？这意味着 是负数的平方根！解出来是纯虚数 （其中 ）。 我解出复数来了！这该怎么办？物理世界里的挠度怎么会是复数呢？我不会了……
老师傅：哈哈，别慌。当年许多数学家在这里也卡过壳。针对这种情况，数学定理给出了一个非常优美的结论：如果一个复数函数 是这个微分方程的解，那么它的实部 和虚部 也各自独立地是该方程的解。
小生：那这实部和虚部是什么？
老师傅：回想一下数学史上最伟大的公式之一——欧拉公式： 。 你看，它的实部 就是 ，虚部 就是 。 根据刚才的结论，这两个三角函数都是方程的解。
小生：所以，这个微分方程的通解，就是它们的线性组合？
老师傅：没错，这里的 和 ，就是我们需要进一步确定的积分常数。
3. 边界的审判与欧拉公式的诞生
小生：用边界条件求常数我最拿手了！ 这根压杆是两端铰支的。
首先看底端，当 时，挠度 。代入通解： ，所以得到 。余弦项直接消掉了，通解简化为 。 再看顶端，当 时，挠度同样 。代入进去得到：
老师傅：好，现在到了最核心的分岔点。要让 成立，有两种可能，你来分析一下。
小生：第一种可能是 。但如果 的话，挠度 就永远是 0，说明压杆根本没弯，还是直的，这不符合我们假设的“微弯失稳”状态！ 所以，必须是第二种可能： 。
老师傅：完全正确！要让正弦函数等于 0，括号里的角 必须是 的整数倍。即：
把我们之前设定的 代回来，两边平方，你就能求出导致失稳的压力 了。
小生：
把分母移过去，得到：
师傅，工程中我们关心的肯定是导致压杆首先破坏的那个“最小”的力！所以取 的时候， 最小！ 所以，临界压力就是：
老师傅：非常出色！这就是材料力学中大名鼎鼎的欧拉公式（Euler's Formula）！（幻灯片21） 把 代回方程，失稳时的挠曲线就是 。 如果令中点（ ）的挠度为 ，则曲线方程为 。由于常数 （或 ）在方程中被消去了，这意味着在临界状态下，压杆挠度的大小是不确定的。
4. 尾声：未尽的数学之谜
小生：师傅，公式最后推出来的欧拉临界力和正弦挠曲线我完全明白了，它们物理意义很清晰！ 但是……中间解微分方程的那一段，什么指数代入、特征方程、还有那个把复数实部虚部拆成解的数学逻辑，我还是觉得有点晕，没有完全吃透这背后的数学证明。
老师傅：哈哈，不用气馁。从物理直觉跨越到复数平面的数学证明，确实需要一些消化时间。今天你已经成功推导出了欧拉公式，完成了最重要的一步。至于那个常系数线性微分方程的严密解法与复数根的数学证明，咱们下节课再专门开个数学小灶，给你慢慢讲透。
