第73夜 | 第四强度理论2：微元体内的“膨胀”与“扭曲”
地点：力学研讨室。
人物：
老师傅：在黑板上画了一个边长为 的微元体，转头看着正在做笔记的徒弟。 小生：笔尖停顿，正思索着上一讲留下的悬念。
1. 几何的视角：如何定义体积的变化？
老师傅：上一讲我们说到，要解开第四强度理论的畸变能之谜，必须先把材料的“体积改变能”给干干净净地剥离出来。小生，如果要你从最基础的几何学出发，计算这个微元体受力后的体积变化，你会怎么做？
小生：既然三个主方向都有应力，那三个方向都会产生应变。变形后的边长就变成了 , , 。 把它们乘起来，变形后的体积就是 。不过，这连乘展开的话，式子会变得很长吧？
老师傅：确实会变长。但别忘了，我们研究的是弹性小变形阶段。线应变 是一个极小量（比如 级别）。如果你把极小量互相相乘，比如 ，会发生什么？
小生：哦！极小量的乘积就是高阶微量，相比于单项可以直接忽略不计。那么展开后，起作用的就只有一次项了：
老师傅：很好。我们把“单位体积的改变量”定义为**体积应变 **，即 。你把刚才的结果代进去看看。
小生：把 除掉……结果非常简洁，体积应变就等于三个主应变的代数和：
2. 物理的桥梁：寻找改变体积的幕后推手
老师傅：这只是几何表达。作为工程师，我们需要知道是多大的“力”导致了这样的体积变化。你手头有什么工具，能把应变 替换成应力 ？
小生：用广义胡克定律！ ，另外两个方向也类似。我把它们三个加起来…… 所有主应力 在式子里都出现了 1 次正的，和 2 次带 的负的。合并同类项后得到：
老师傅：整理得不错。为了让物理意义更明显，我们定义一个平均应力 ，即 。你把它代入上面的式子里。
小生：那 就等于 。代进去后：
老师傅：仔细观察这个式子，你发现了什么规律？如果两个受力状态非常不同，比如一个是 ，另一个是 ，但它们的平均应力 恰好相等，它们的体积会怎样变化？
小生：既然体积应变 只和 成正比，那只要平均应力相等，这两个微元体的体积变化量就绝对一模一样！至于它们各自是怎么扭曲的，体积方程根本不关心。
3. 拆解应力：把“膨胀”与“扭曲”分开
老师傅：一点就透。既然体积变化只认 ，我们是不是可以顺水推舟，把一个复杂的应力状态，拆分成两个独立的状态？
小生：我明白了！ 我们可以拆出一个状态 (a) 体积改变状态：假设微元体三个面上只受平均应力 作用。这个状态包揽了所有的体积胀缩。 然后，用原来的应力减去 ，就得到了状态 (b) 形状改变状态：三个面上受力分别是 。
老师傅：你可以心算一下，状态 (b) 的这三个应力加起来等于多少？
小生： ！ 它们的平均应力是 0，所以根据体积胡克定律，状态 (b) 绝对不会引起任何体积改变，它纯粹只负责让微元体发生形状扭曲。师傅，这种解耦的思想太巧妙了！
4. 锁定畸变能：最后的代数拼图
老师傅：思路理顺了，剩下的就是顺藤摸瓜的计算。 我们已知微元体做功的公式是 。现在，你单独针对只管体积胀缩的状态 (a)，计算一下它内部储存的体积改变能密度 。
小生：在状态 (a) 下，三个面上的力全是 ，产生的应变也全是 。 代入能量公式： 。 这里的 也是未知数，我需要用广义胡克定律把它求出来……在这个三向等拉状态下：
老师傅：好，把它代回能量公式里。
小生：
最后，把 代进去平方：
老师傅：推导到此，大功告成！ 总应变能密度 我们上一节课已经求过了。我们要找的畸变能密度 ，就是总能量减去刚刚算出的体积改变能：
剩下的就是将两个长长的多项式相减。经过代数展开与配方凑项——虽然过程有些繁琐，但这纯粹是数学苦力活——最终必定会化简成我们见过的那个优美结果：
小生：从几何变形推导体积应变，用广义胡克定律引出平均应力，再借此将受力状态一分为二，最终从总能量中精准剥离出不导致破坏的体积能…… 这一步步走来，虽然公式繁复，但背后的物理逻辑严丝合缝。第四强度理论，原来是建立在如此精密的能量解剖学之上的！
