第72夜 | 第四强度理论、深海的钢球与应变能密度

“师傅，上一讲的第三强度理论      我弄懂了。但是它和第一理论有同样的毛病啊！它虽然考虑了最大和最小主应力，但完全无视了中间主应力      的存在！难道      对材料的屈服真的一点影响都没有吗？”

地点：力学研讨室。桌上放着一根弹簧和一个实心钢球。

人物：

• 小生：正在复习上一讲的第三强度理论，眉头微皱。

• 老师傅：抛着手里的钢球，等他发问。

1. 第三理论的缺陷：被无视的       

小生：师傅，上一讲的第三强度理论      我弄懂了。但是它和第一理论有同样的毛病啊！它虽然考虑了最大和最小主应力，但完全无视了中间主应力      的存在！难道      对材料的屈服真的一点影响都没有吗？

老师傅：你能想到这一层，说明你的力学直觉已经很敏锐了。实际上，     确实对材料的屈服有影响。第三强度理论因为忽略了它，所以计算结果偏于保守。为了把      精确地纳入考量，力学先驱们决定放弃单纯的“力”的视角，转而从“能量”的角度来破解这个难题。

2. 应变能：材料内部积蓄的“力量”

老师傅：小生，你拉伸一根弹簧时，手做了功，这部分能量去哪了？

小生：根据能量守恒，手做的功储存在了弹簧内部，变成了弹性势能。在线性阶段，拉力是随着伸长量成正比例增加的，所以做功是最大拉力      和伸长量      乘积的一半，也就是     。

老师傅：很好！在微观的立方体微元上也是一样的逻辑。假设我们在材料内部切出一个边长分别为      的微元体。现在，只看主方向 1，作用在这个面上的力有多大？

小生：力等于应力乘面积。主方向 1 的横截面积是     ，所以作用在这个面上的总力是     。

老师傅：那在这个力      的作用下，微元体在方向 1 上伸长了多少？

小生：伸长量等于线应变乘以原长。方向 1 的原长是     ，所以伸长量     。

老师傅：非常好。既然微元体处于线弹性变形阶段，力是从零逐渐线性增加到      的，那么外力在方向 1 上做的功      是多少？

小生：套用弹簧做功的公式，乘个三角形面积系数     。

老师傅：同理，方向 2 和方向 3 上做的功就是      和     。把它们加起来，代表微元体内储存的总应变能。为了摆脱体积大小的限制，我们把它除以微元体的总体积     ，就能得到**单位体积的总应变能密度     **。你来写一下。

小生：除以体积后，     就全约掉了！总应变能密度公式非常整齐：

老师傅：漂亮。但你看这个式子，里面既有应力     ，又有应变     ，是个混合式。在强度校核时我们往往只知道应力。你有什么办法能把它变成纯应力的公式吗？

小生：纯应力？我知道了！用前几节课学的广义胡克定律！它可以把应变用应力表达出来！

把      等三个公式代入，化简后得到：

这里面      全齐了！只要材料的总能量达到极限，是不是就屈服失效了？

3. 剥离能量：深海钢球的隐喻

老师傅：不是！这正是早期力学家走过的弯路。总能量到了极限材料就会坏？咱们来做一个思想实验。

假设你手里这个实心钢球，被扔进了水深一万米的马里亚纳海沟。它受到了极大的深海海水压力。此时，它的三个主应力是相等且巨大的负值：    。

它的总应变能密度绝对是个天文数字。但是，你觉得这个钢球形状会发生显著滑移扭曲吗？

小生：四周的水压是完全均匀的……它顶多会被压得体积变小一点点，但它依然是个圆球。形状没有被扭曲，分子层之间没有相对滑移，所以……它不会屈服？

老师傅：对的！这就是力学家伟大的洞察之一。

总应变能其实由两部分组成：

一部分叫体积改变比能，它纯粹由三个方向的平均应力引起，只改变大小，不改变形状（就像深海钢球），这部分能量不会导致材料屈服。

另一部分叫形状改变比能（畸变能密度       ），它是由三个主应力之间的差值（偏斜部分）引起的，这部分能量才会迫使材料发生剪切、扭曲和滑移！

4. 第四强度理论的诞生与遗留之谜

老师傅：基于这个伟大的洞察，第四强度理论（畸变能密度理论）的基本假设诞生了：畸变能密度是引起材料发生屈服的唯一主导因素。

经过数学剥离，三向应力状态下的畸变能密度      表达式为：

小生：接下来的套路我熟！拿它和单向拉伸试验对标。

当单向拉伸材料屈服时，    。代入上面的公式，单拉屈服时的极限畸变能      就是：

最后一步，令复杂状态的      等于极限状态的     。我把式子列出来：

两边的常数项一约分，把平方移过去开根号……成了！

等号左边这一长串，就是第四强度理论的相当应力     ！

老师傅：完全正确。你看这个公式，     完美地融合在了一起，没有任何一个被遗漏。

第四强度理论是目前对塑性材料屈服预测最为精确的理论。现代工程软件（比如 ANSYS、Abaqus）里显示的“von Mises 应力”，其底层算法就是你推导出的这个     。

小生：师傅，虽然我推导出了相当应力，但这个畸变能密度      的公式      究竟是怎么从总能量      里抠出来的呢？它是怎么推导的？

老师傅：哈哈，这就涉及到了材料变形的深度解剖。要从总能量里严谨地剥离出形状改变比能，我们必须先弄清楚材料的体积改变是怎么计算的。下一夜，我们就先来研究微元体的体积变形，然后再为你彻底解开这个畸变能公式的身世之谜。