第71夜 | 第三强度理论之空间莫尔圆的硬核解密

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“师傅，上一讲您说，无论微元体怎么斜着切，截面上的应力点一定落在这三个圆包围的阴影区里，所以最大切应力      必定是大圆的半径     。可这结论到底是怎么证明出来的呢？”

地点：力学研讨室。黑板上画着一个三向应力圆。

人物：

• 小生：盯着黑板上的三个圆，手里的笔转得飞快。

• 老师傅：在一旁喝了口茶，拿起粉笔准备推导。

1. 破题：寻找任意斜面的应力

小生：师傅，上一讲您说，无论微元体怎么斜着切，截面上的应力点一定落在这三个圆包围的阴影区里，所以最大切应力      必定是大圆的半径     。可这结论到底是怎么证明出来的呢？

老师傅：今天我们就来打一场硬仗，用严谨的数学把这片阴影区框出来。

要证明这一点，我们必须算出空间任意倾斜截面上的应力。看图。我们沿着主平面切出一个微元体，它的三个面上只有主应力     。

然后，我们在它的一角切一刀，形成一个“柯西四面体”。这个倾斜的截面 ABC，就是我们要研究的任意斜面。假设这个斜面的法向量（方向余弦）是     ，作用在上面的总应力向量是     。

小生：这个图形我能看懂。斜面 ABC 的面积如果设为     ，那么它在三个坐标面上的投影面积，就是      分别乘以方向余弦     。

2. 物理基础：力系的静力平衡

老师傅：对。接下来，我们沿着      轴方向列静力平衡方程。斜面上沿      轴的总力是     ，背面抵抗它的是      乘以它所在的投影面积     。

小生：平衡的话，两者相等，把      约掉，得到     。

同理，另外两个方向就是     ，    。

那斜面上的总应力大小平方就是     。

老师傅：很好。但这只是总应力，工程中我们需要的是垂直于斜面的正应力     ，和沿着斜面的切应力     。

正应力      等于总应力向量      在法向量      上的投影，也就是内积：

而切应力     ，可以根据勾股定理      求出：

3. 思维逆转：反解方向余弦

小生：列出这几个式子不难。但现在的变量全是角度     ，而我们要画的莫尔圆是在      坐标系里的，这怎么联系起来呢？

老师傅：这正是前人推导的精妙之处——反客为主。

加上一个几何常识     ，我们现在手上有三个关于      的线性方程：

我们把它当作一个三元一次方程组，反过来求解    。

求解的代数过程比较繁琐，直接看结果：

4. 代数配方：凑出圆的方程

小生：这分子上的式子看着好眼熟……    ，如果把它展开再配个方，是不是能变成圆的方程？

老师傅：动手试试（幻灯片117）。你可以利用一个小技巧，补充代换：

把它们代入      凑成平方差的形式，刚好可以化简为：

你仔细看这个结构，    ，这不就是以      为圆心，     为半径的圆吗！

小生：明白了！我把化简后的分子代回方程，把分母乘到等号左边，就会得到三个极其对称的式子（幻灯片118）：

方程①：    

方程②：    

方程③：    

5. 完美收网：不等式的几何围城

老师傅：现在，准备迎接最激动人心的收网时刻。

我们在最开始做了一个约定：    。并且，方向余弦的平方必定非负，即     。

你来看看方程②等号右边的附加项：    。

小生：我算算……    ，    ，但是      是个负数（    ）！所以这一整项必然    。

那就意味着，方程②等号左边的部分，必定小于等于半径的平方     ！

在几何上，这意味着坐标点     ，必定在最大的那个圆的内部或者边界上！

老师傅：对！你再分析一下方程①和方程③的附加项。

小生：方程①的附加项是     ，两个括号都是正的，所以整体     。这意味着点在小圆Ⅰ的外部或边界。

方程③的附加项是     ，两个括号都是负的，负负得正，整体也是     。这意味着点在小圆Ⅲ的外部或边界。

老师傅：现在综合这三个结论：该点必须在大圆之内，且在两个小圆之外。这不就完美地用数学不等式，在坐标系里画出了那片阴影区域吗！

小生：真是令人叫绝的证明！既然任意斜面的应力点被死死地困在了这片阴影区，那它的切应力纵坐标      就不可能超过大圆的最高点。所以，三向应力状态的最大切应力就是：

第三强度理论的根基，这下算是彻底夯实了。