第68夜 | 万剑归宗：用“主应力”与“强度理论”判断材料是否会失效
“师傅，这几天咱们疯狂切微元、画莫尔圆，好不容易把材料内部最本质的基因——三个主应力 给扒出来了。可是，费这么大劲求出这三个数，具体在工程上到底有什么用啊？”
地点：力学研讨室。黑板上画满了各类零件的受力图。
人物：
小生：揉着手腕，看着自己刚算出来的一堆主应力发呆。
老师傅：拿着一份图纸，正准备在上面打叉。
1. 痛点：主应力算出来了，然后呢？
小生：师傅，这几天咱们疯狂切微元、画莫尔圆，好不容易把材料内部最本质的基因——三个主应力 给扒出来了。可是，费这么大劲求出这三个数，具体在工程上到底有什么用啊？
老师傅：用处大了！咱们做工程，最终目的就是保证零件不被搞坏。
你看，如果是一根纯拉扯的杆子，咱们直接算 ，看它有没有超过许用应力 就行了。如果是一根纯扭转的轴，咱们就算 ，看它有没有超过许用切应力 。这些一维的简单问题，用实验室的试验机拉一下或扭一下就能出标准。
小生：对啊，那多简单。
老师傅：但是，现实是残酷的。比如一根飞机的螺旋桨轴，它一边被螺旋桨推着往前走（受压），一边还要克服阻力旋转（受扭）。
或者一根受弯又受剪的工字梁。它们内部的微元体，既有正应力 也有切应力 。这时候你怎么判断它安不安全？总不能把 和 直接加减吧？难道面对每一种复杂的受力组合，我们都要专门做一次实验去测它的极限？
小生：那得做无穷多次实验，实验室肯定要破产的。
2. 救星降临：四大强度理论
老师傅：为了解决这种复杂应力状态下的生死判定，力学大牛们提出了“强度理论”。 它的核心思想非常霸气：不管你微元体受力有多么眼花缭乱，只要你提炼出三个主应力 ，我就能用一个公式，把它们“揉合”成一个“等效”的一维相当应力（ ）。只要这个相当应力 没有超过材料单向拉伸时的许用应力 ，零件就是安全的！
小生：太酷了！把三维复杂状态直接“降维打击”成等效的简单拉伸！那这个假想的“相当应力”怎么算？
老师傅：这就要看材料的“脾气”了。材料的破坏主要分两类，我们由此发展出了四大强度理论：
第一类：脆性断裂（Fracture）
像铸铁、混凝土这类脆性材料，它们抵抗断裂的能力小于抵抗滑移的能力，极度怕“拉扯”，往往没等变形就被直接拉断。对付它们，我们适用：
第一强度理论（最大拉应力理论）：认为只要最大拉力到了极限就会死。它的相当应力最简单：
第二强度理论（最大伸长线应变理论）：综合考虑了三个主应力的泊松效应，认为材料拉长到一定程度就会断。相当应力为：
第二类：塑性屈服（Yield）
像低碳钢这类塑性材料，它们抵抗断裂的能力大于抵抗滑移的能力。它们不怕拉，但极度怕“剪切”，受力过大内部就会发生微观滑移而屈服。对付它们，我们适用：
第三强度理论（最大切应力理论）：认为最大切应力才是罪魁祸首。它的相当应力公式是：
第四强度理论（畸变能密度理论）：从能量的角度出发，认为改变微元体形状的能量到了极限就会屈服。公式最为全面：
3. 实战：一场经典的校核
小生：看材料下菜碟，脆性怕拉用第一或第二，塑性怕剪用第三或第四！师傅，咱们拿道例题练练手吧。
例题：已知某危险点单元体 MPa， MPa， MPa。材料单向拉伸许用应力 MPa。
题目要求：
(1) 若材料是铸铁（脆性材料），用第一强度理论校核；
(2) 若材料是碳钢（塑性材料），用第三强度理论校核。
小生：我来动手！
第一步：画莫尔圆求主应力。
面坐标 ， 面坐标 。
圆心在 ，半径 MPa。
圆与横轴的交点就是平面的主应力： MPa，和 MPa。
第二步：三维排序立规矩（ ）。
这是一个平面应力状态，隐藏的 面没有受力，所以存在一个 MPa 的主应力。
这三个数 排个序：
MPa
MPa
MPa
第三步：分道扬镳做校核。
(1) 校核铸铁：用主导拉断的第一强度理论：
极为安全！因为最大主应力是 0，微元体完全处于受压状态，铸铁根本感受不到能撕裂它的拉力。
(2) 校核碳钢：用主导剪切滑移的第三强度理论：
比较一下， 。同样安全！
老师傅：完美收官！你看，无论初始应力状态是正是负，是压是剪，只要提取出主应力，套上对应的强度理论，复杂的生死判决瞬间就变成了几道加减法。这就是材料力学从应力分析，真正走向宏观工程设计的跨越。
