作业7-1答案

1. 用积分法求图中所示各梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角。 设        为常量。
    

一、建立载荷方程

取坐标 (    ) 自固端 (    ) 向右，则分布载荷为

二、求弯矩方程

取距固端 (    ) 处截面，截面右侧剩余载荷仍为三角形分布，其合力为

其作用点距截面的距离为

故该截面的弯矩为

于是挠曲微分方程为

三、积分两次

对上式第一次积分：

再积分一次：

四、由边界条件求积分常数

固端 (    ) 处满足

1. 由 (    ) 求 (    )

由

代入 (x=0)：

故

2. 由 (    ) 求 (    )

由

代入 (    )：

故

五、挠曲线方程

将 (    )、(    ) 代回，得

故挠曲线方程为

也可整理为

六、自由端转角

自由端 (    ) 处 (    )，由

得

所以自由端转角为

七、自由端挠度

将 (    ) 代入挠曲线方程：

故自由端挠度为

(2)这是一个带右端悬臂的简支梁：

•       为铰支座，       为滚支座；
•      ，      ；
• 在        段作用均布载荷       ；
• 自由端        作用集中力

• 设        为常量。

下面用积分法求挠曲线方程，并求自由端      的挠度和转角。取坐标      自      点向右。

一、求支座反力

由静力平衡条件：

对      点取矩：

解得

于是

二、分段写弯矩方程

梁分为两段：

• 第一段：      
• 第二段：      

（1）     段

对     ，截面左侧只有支反力      和均布载荷     ，故弯矩为

代入     ，得

故挠曲微分方程为

积分一次：

再积分一次：

（2）     段

对     ，在距      点      处截开，取截面右侧分析。右段上只有自由端      处的集中力

该力到截面的距离为

故截面弯矩为

代入     ，得

故挠曲微分方程为

积分一次：

再积分一次：

三、由边界条件和连续条件求积分常数

（1）在支座      处

因为      点挠度为零，所以

代入得

（2）在支座      处

因为      点挠度为零，所以

先由      求     ：

即

前两项相消，故

（3）在      处转角连续

即

由     ：

由     ：

令两者相等：

得

（4）由      求     

代入：

即

故

四、挠曲线方程

（1）     段

代入     ，得

即

也可写成

（2）     段

代入     ，得

即

五、求自由端      的转角

自由端      对应     。

由

代入     ：

故自由端转角为

六、求自由端      的挠度

由      式，代入     ：

故自由端挠度为

七、结果

挠曲线方程为

自由端      的转角为

自由端      的挠度为

负号表示转角为顺时针、挠度向下。