非线性有限元及程序-电子书
内 容 简 介
本书除简要叙述线性有限单元法以外，重点阐述非线性有限单元法的基本理论。主要内 容包括：非线性有限单元法的基础知识、主要算法、软件工程的基本思想、非线性有限元程 序 V-FEAP 和工程算例；本书还包括作者的最新研究成果：改进等参元和实体退化单元。
本书通过介绍一个典型的非线性有限元程序 VFEAP, 阐明非线性有限元程序的基本结构、 算法的程序实现等问题，为读者在非线性有限单元理论和实际应用之间架起一座桥梁。
前言
有限单元法是一种方法可靠、适用面很广的数值分析方法，其中线性的有限单元分析由 于理论简明、应用简便，己被广大工程技术人员接受和应用。随着人类对客观事物认识的不断 深入，设计水平的不断提高，基于线性理论的分析方法已不能满足理论研究和工程设计的需要， 囚此非线性有限元分析越来越得到广大科技工作者的重视。遗憾的是，非线性有限单元法所要 求的基础理论知识更深、更广，其程序实现也更困难，而非线性问题本身的复杂性、多样性又 决定了不存在一个能解决大部分(更不要说全部)非线性问题的通用非线性有限元分析软件。 因此，非线性有限元分析要求使用者不仅要熟练地掌握有限单元的理论和技术，深刻理解研究 对象的规律，并且要具有发展算法、扩充程序性能的能力，以便更有效、更经济地解决工程中 的非线性问题。
从1983年开始，作者为浙江大学力学系和土木工程系的硕士研究生开设“有限单元法和 程序设计”课程。随着有限元技术的发展，课程内容得到不断更新和丰富。1988年开始开设 “非线性有限单元法及程序设计”课程，讲稿几经修改，逐步形成本教材。该课程已成为土木 工程博士学位课程。作者20年的教学经验表明，学习本课程的研究生开始的时候多少都会感 到一些困难，但学完之后都会觉得有较大的收获，所学内容对其学位论文的研究帮助颇大。
本书重点阐述了非线性有限单元法的基本理论和程序设计，主要内容包括：非线性有限 单元法的基础知识、主要的数值算法、软件设计工程的基本思想、非线性有限元程序 VFEAP 以及…些工程实例。为确保教材的系统性和可读性，本书还简要地叙述了线性有限单元法，同 时收集了作者近年来的最新研究成果。通过系统地介绍一个典型的非线性有限元程序VFEAP, 阐明非线性有限元程序的基本结构、算法的程序实现等关键问题，为读者在非线性有限单元理 论和实际应用之间架起一座桥梁。
本书第1章简要地介绍了有限单元法的发展历史和固体力学非线性问题的分类。第2章 介绍非线性有限元分析过程中涉及的主要数值方法，包括线性与非线性代数方程组的解法、广 义特征值问题的解法、瞬态响应问题的解法以及常用的各种数值积分公式等。这一章是非线性 有限单元法的数学基础。
第3章介绍了笛卡儿坐标系下物休有限运动和变形的描述方法。第4章阐述了有限变形 条件下的应力描述和微、积分形式的运动方程。第5章则简要地介绍了部分常见的材料本构关系， 包括非线性弹性、弹塑性、粘弹性和粘弹塑性等。这三章是非线性有限单元法的力学基础。
第6章介绍了线性有限单元法。非线性有限单元法是从线性有限单元法发展而来，所以 本章也是非线性有限单元法的基础。第7章包括作者近几年的最新研究成果：退化单元和虚拟 层合单元，并介绍了它们在建筑工程和机械工程中的应用。
第8、9章分别介绍了大变形问题、小变形材料非线性问题的有限单元法，这两章基于第 3、4、5章非线性理论和第6章线性有限单元法的基础之上，是将理论转化为应用的关键。
第10章介绍了有限元软件设计的基本思想，这些思想大多是前人花费了巨大代价才得出 的经验总结。掌握软件工程的基本思想，遵循其基本要求和规范，在编制软件时可以少走弯路， 获得意想不到的效果。第11章比较系统地介绍非线性有限元分析软件 VFEAP。这一章将为有 限元软件再开发提供一个很好的平台。第12章介绍了一些比较典型的工程实例。
必须指出的是， VFEAP 是在FEAP 的基础上发展而来。 FEAP 最早是美国加利福尼亚大 学 R.L.Taylor 教授领导开发的非线性有限元程序，主要适用于教学和研究。1986年R.LTaylor 教授和 J.C.Simo 教授受联合国教科文组织的派遣，来浙江大学讲学，并赠送了一套 FEAP 源 程序。在此基础上，我们进一步研制开发了ZD-FEAP 和 VFEAP 。在此，我们对 FEAP 程序 的赠送者 R.L.Taylor 教授和 J.C.Simo 教授以及在开发过程中作出过贡献的教师和研究生表示 衷心感谢。
本书可作为土木、机械、力学等学科的研究生和高年级本科生的教材，也可供工程技术 人员学习非线性有限元法和程序时参考。
本书第1、第7章由徐兴教授编写，第13章由蔡金标博士编写，其余各章均由凌道盛博 士编写。全书由徐兴教授统稿。
由于作者水平有限，定有不妥和错误之处，恳请专家和读者批评指正。
徐 兴
2004年8月
第1章 绪论
1.1 有限元发展历史、现状及应用前景
在实际工程中，对许多力学问题或场问题，人们已经得到了它们应当遵循的基本方程(常 微分方程或偏微分方程)和相应的定解条件。弹性力学告诉我们， 一一般的固体力学问题需要满 足几何关系、物理关系和平衡方程(或运动方程)。能用解析的方法求出精确解的只是方程性 质比较简单、几何边界相当规则的少数问题。大多数的实际工程问题，或由于几何边界比较复 杂，或由于问题的某个或某些方面表现为非线性，很难得到解析解。对于这类问题，工程和研 究人员经常采用两种方法来解决。 一种方法就是引入简化假定，将相对复杂的问题简化为可以 通过解析方法求解的简单问题。这种方法的局限性是显而易见的，因为过多的简化可能导致不 精确甚至错误的结果。另一种方法就是借助计算机利用数值方法求解。目前，数值解法已成为 解决工程问题的最重要方法之。
在所有数值解法中，有限差分法是人们较早普遍采用的数值方法。借助于有限差分技术， 人们能够比较容易地得到一些复杂问题的解。目前，这一方法仍然被广大科研和工程人员采用。 但是，当遇到复杂的几何形状和边界条件时，有限差分法解的精度受到限制，甚至发生求解困 难。
随着电子计算机的飞速发展和广泛应用， 一种新的功能强大、适用范围广泛的数值方法 ——有限单元法出现了。“有限单元法”(Finite Element Method,缩写为FEM) 这一名称最早 是由Clough 在1960年的一篇关于平面弹性问题的论文中提出的。其实，有限单元法最初是 在20世纪50年代作为处埋固体力学问题的一种方法出现的，它是结构分析矩阵方法的一个分 支。据文献记载，早在1943年Courant¹² 就应用了“单元”,他在求解 St.Vnant 扭转问题时， 将杆的横截面剖分为三角形“单元”,假设翘曲函数在三角形单元中呈线性分布。在 Courant 之 后10多年，这一方法逐渐流行起来。
Besseling¹²5 于1963年将有限单元法和传统的里兹 (Ritz) 法比较后指出，有限单元法是 里兹法的另一种形式，其试函数就是分片插值函数，在单元上解析，在整个域上仅满足连续的 条件。试函数的这一改进，使有限单元法比普通的里兹法更灵活，适应性更强。目前，有限单 元法在工程界获得了广泛的应用，已成为杰出的工程分析工具。
我国学者对有限单元法的创建和发展也有不少贡献。著名学者冯康在1965年提出的“基 于变分原理的差分格式”(3,就是有限单元法。卞学璜141于1971 年指出，对某些边值问题，有限单元法和有限差分法得出的方程组是一致的。
初期的有限单元法是建立在虚功原理或最小势能原理基础上的。在1960—1970年这十年 中，发展了以各种不同变分原理为基础的有限单元法，并在许多方面对有限单元法进行了研究：
(1)有限单元法与加权残数法的关系5-8;
(2)发展了弯曲元、曲元和等参元9-11;
(3)作为偏微分方程的数值解法，广泛应用于结构的非线性问题和动力学问题、固体力学 问题、流体力学问题、热力学问题以及其他方法难以处理的工程问题[12];
(4)建立在函数分析概念上的数学基础(13.14)。
自1967年以来，出版了许多有限单元法的专著[12.15-18】,发行了不少有限单元法的杂志19-241, 关于有限元理论和应用的论文也层出不穷，展现出数值方法前所未有的生命力.板壳结构有限 元分析的研究尤其活跃，这是由于按板壳理论直接构造协调的简单有效的板壳单元碰到巨大的 困难，研究人员提出了多种解决办法，获得一定的成功，譬如龙驭球等提出的拟协调单元等。 1993年以来，作者及其研究生，从三维实体等参单元出发，直接引入相应的基本假定，构造 了中厚板壳单元、 Kirchhoff 薄板单元、空间梁单元、平面梁单元等一系列退化单元。另外，
为适应层合板壳和箱梁等复杂结构的计算，发展了层合板壳单元、虚拟层合板壳单元和组合单 元26-301,突破了不同材料应划分为不同单元的要求。这一改进，使得复杂结构的整体空间分析、 动力分析、非线性分析、形状优化等复杂问题变得简单有效。
现在有限单元法已广泛应用于航空航天、船舶建造、核能电站、地下建筑等结构工程，在 潮汐运动、热传导、化学反应中物质的传递和扩散以及流体和结构的相互作用等领域，也有广 泛的研究和应用。随之而来，有限单元法的专用和通用软件也大量出现，比较著名的通用软件 有NASTRAN 、ASKA 、MARC 、ANSYS 、TITUS 、ADINA 等。
应当说有限单元法已经相当成熟，因此不人可能再有戏剧性的突破了。但是在进一步扩大 应用范围、提高和完善有限单元法的使用技巧等方面还有许多工作要做。例如断裂、损伤等材 料破坏问题，各种非线性问题、流体问题和大规模复杂结构的求解效率、误差界限和收敛速度 的估计，网格剖分的自动化，自适应有限单元，以及有限单元和优化相结合的计算机辅助设计 等等。
1.2 固体力学非线性问题的分类
从本质上讲，所有固体力学问题都是非线性的，很少有解析解，线性弹性力学问题只是实 际问题的一种简化假定。在有限元分析中，线性化假设通常包含以下内容：第一，节点位移为 微小量；第二，材料是线性弹性的；第三，物体运动或变形过程中，边界条件的性质保持不变。 上述三个假设中的任何一个不满足，都属于非线性问题。
有鉴于此，我们通常把固体力学非线性问题分成三大类，即材料非线性、几何非线性和边 界条件非线性。
一、材料非线性
材料非线性是指材料的物理定律是非线性的，简单地说，就是材料的应力应变关系是非线 性的。通常，位移分量仍假设为无限小量，即应变位移间满足线性关系。材料非线性问题一般 分成两大类，第一类是非线性弹性问题，橡皮、塑料、岩石等材料的应力应变关系在很小的应
变下就表现出明显的非线性性质。非线性弹性问题的一个重要特点是所有变形卸载后都是可以 恢复的。另一类是具有不可逆的塑性变形的材料非线性问题，如弹塑性问题、粘弹塑性问题等， 岩土工程中的软粘上就属于这类材料。
二、几何非线性
儿何非线性问题一般指的是大位移问题，或者结构内部的应变较大，或者结构经历了较大 的刚体 位移(如平动或转动)但应变分量仍假设为微小，此时假定应力-应变关系仍然是线性 的。大多数的大位移问题都属于后者，只有在材料出现塑性变形时，以及类似橡皮这样的材料 才会遇到大的应变。 一般的，几何非线性问题的应变和位移间不再满足线性关系。
几何非线性问题的另一个表现是，平衡方程必须相对于预先未知的变形后的几何位置给 出。实际上，所有问题的平衡都是在变形后的位置上达到的，囚此必须用已变形的位置写出它 的平衡方程。在弹性力学中，由于假设位移很小，且假定问题的基本特征不因变形而改变，因 此不需要严格区分平衡方程是基于变形前还是变形后的位置写出的。必须理解，位移的大小并 不是区分几何线性和非线性的惟一标准。如图1示，外荷载不大时，图1.1 (a) 所示结构近似 为线性结构是合理的，但图1.1(b) 所示结构必须由变形后的几何位置写出。压杆失稳后的变 形研究、板壳大挠度问题等均属于几何非线性问题。
第2章 有限元分析中的数值方法
作为一种工程中广泛应用的数值方法，有限单元法涉及大量的基本数学问题，掌握这些 问题的求解方法，有利于加深对有限元法分析过程的理解，是有效应用和开发有限元程序的 基础。本章对位移法有限元分析过程中经常涉及的数值方法作一简单归纳，以供读者参考。
对于以位移为基本未知量的有限元法，力学模型经有限元离散、单元分析、系统组集和 引入边界条件后， 般可以得到以下形式的运动方程，
式 中 ，x 和f 为 N 阶的矢量；x 是节点位移矢量，为待求量；f 为等效节点力矢量，反映了 物体力的边界条件，一般为已知量。顶标一点和两点分别代表对时间的一阶和二阶导数。M、
C 和K 为N×N 的方阵，分别代表离散系统的质量阵、阻尼阵和刚度阵，适当引入位移边界 条件后的系统刚度阵K 一般为正定矩阵。注意到系统的质量阵、阻尼阵和刚度阵一般为对称 且稀疏矩阵，在计算机中多采用二维等带宽或一维变带宽存贮。对于简单结构(如土木工程 中围护桩的内力分析),除对角元附近的少数元素外，其他元素全部为零，此时可以采用等带 宽存贮，以提高存贮和计算效率。一维变带宽存贮具有存贮紧凑、需要计算机的物理内存小 的优点，但由于寻找元素较前者复杂，故不易编程且存取元素耗时较多。
对于静力学问题，方程组(2.1)简化为
对于动力学问题，加上初始条件，
方程(2.1)便为适定，可以求得惟一解。采用数值方法对(2.1)式关于时间离散后也可得到类似 (2.2)的方程组。因此，求解方程组(2.2)是有限元分析的重要步骤之一。
随着分析模型的不断复杂化和对精度要求的不断提高，代数方程组的规模越来越大，解 代数方程组的时间在整个解题时间中占很大的比例，动力学问题和非线性问题尤其如此。因 此，时间离散和方程组求解的方法对计算精度和速度有很大的影响，有时甚至直接关系到计 算的成败。一些经典著作112均对有限元法中的数值方法进行过细致的介绍。
2.1 线性代数方程组的解法
若式(2.2)中K 和f 都为常数矩阵和矢量，则方程组为线性代数方程组，它的求解是非 线性方程组求解的基础。线性代数、数值分析和许多有限元教材对线性代数方程组的求解都有详细的介绍，本节只简单介绍部分方法的基本原理。
目前常用的线性方程组求解方法可分成两类：直接解法和迭代解法。直接解法以高斯消 去法为基础，求解效率高，但计算过程中的舍入误差会随着方程组阶数的提高而不断累加， 因此一般适用于阶数不是很高(例如不超过10000阶)的方程组3¹。常用的直接解法有三角分 解法、分块解法和波前法等。当方程组阶次过高时，可以考虑采用迭代方法，其中常见的迭 代法有高斯-赛德尔(Gauss-Seidel) 迭代法、超松弛迭代法(SOR 法)等。
2.1.1 直 接 解 法
高斯消去法是所有直接解法的基础。对于N 阶线性方程组，系数矩阵经N-1 次消元(行变 换)后化为一个上三角阵，回代计算后可得到方程组的解。与高斯消去法不同，高斯-约当消去 法则是直接把系数矩阵消成一个单位矩阵，因此在形式.上没有回代的过程。但实际上，高斯- 约当消去法的反消过程就相当于高斯消去法的回代过程。
三角分解法则利用了三角分解定理和有限元分析中系数矩阵的对称正定性质，将系数矩 阵分解为如下形式，
‘’
式中，L 为对角元素为1的下三角矩阵， D 为对角矩阵，上标 T 表示矩阵转置。可以证明这 样的分解存在且惟一。分解后，分别向前、向后回代即可求得方程组的解。
与高斯消去法相比，三角分解的过程实际上相当于消去过程，两者的运算量基本相同。 如果考虑系数矩阵一维变带宽存贮时取数和送数所消耗的时间，三角分解法较高斯消去法要 节省时间。
为达到一定的计算精度，离散模型划分的单元--般很多，相应的节点和节点自由度很多， 方程组的阶次很高。即使采用一维变带宽存贮，系数矩阵有时也不能全部进入内存。分块解 法和波前法是解决计算机内存不足的有效方法。
分块解法和波前法的基本思想都是基于对高斯消去法的再分析上，由先组集后消元发展 到组集和消元交替进行1³。分块解法采用自由度组集完一批消去一批的方法，而波前法采用组 集完一个自由度消去一个的方法。与分块解法比较，波前法需要的内存更小，但程序编制复 杂，内外存交换频繁。基于组集和消元交替进行思想派生出的解法不少，不同的解法各有特 点，但基本思想相伺。
2.1.2 迭 代 解 法
雅可比(Jacobi)迭代法和高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法是求解线性方程组的常用迭代 法，两种方法求解思路是相似的。
将(2.2)式改写成如下形式，
式 中 ，x,f, 分别为矢量x 和f 的第i 个分量，K, 为矩阵K 的第i 行第j 列对应的元素，下同。本章中，同一项中相同指标不满足爱因斯坦求和约定。
假设x 的一个初值x(, 由(2.5)式可以构造如下迭代格式，
这就是雅可比迭代法。要注意的是，由于不能保证总是收敛的，因此不常采用该方法求解有 限元线性方程组。
在迭代格式(2.6)中，由于计算是顺序进行的，在计算某一个x("+)时，其前面的分量x("-¹), x{+1),…,x(“-+”已经求得，如果迭代过程收敛，它们应该比x(”,x2”),…,x(-)更接近准确值，用前者代替应该可以起到加速收敛的作用。于是有
这就是著名的高斯-赛德尔迭代法。
理论分析表明，当线性方程组的系数矩阵为对称正定矩阵时，高斯-赛德尔迭代法一 定收敛。因此，它成为有限元法中求解线性代数方程组的常用迭代方法。
为提高迭代法的收敛速度，将(2.7)式改写成如下形式，
上式右端第二项代表两次迭代间的增量，引入系数@得
式(2.9)就是超松弛迭代法(简称 SOR 法)的计算公式，系数w 叫做松弛因子。可以证明， 为保证迭代过程的收敛性，必须要求0<w<2 。 为达到加速收敛的目的，常取@>1。 显然w=1 时，式(2.9)就退化为高斯-赛德尔迭代。
更多内容见附件
免责声明：
本页面/内容部分素材来源于互联网公 开 信 息，旨在传递更多信息，不代表本平台立场。
版权归原作者或机构所有，如涉及侵权，请通过平台联系我们，我们将在核实后第一时间处理。
本平台对转载内容的真实性、准确性不作任何保证，用户需自行判断并承担使用风险
