Matlab有限元结构动力学分析与工程应用（推荐教程）-电子书
MATLAB有限元 结构动力学分析与工程应用
徐 斌 高 跃 飞 余 龙 编著
清华大学出版社
北 京
前 言
有限元法发展至今天，已成为工程数值分析的有力工具，在理论和实践上均取得了令 人瞩目的成就，事实上它已经发展成为工程领域中一门不可或缺的技术。本书采用在当今 工程和教育界非常流行的数学软件 MATLAB 来进行有限元的分析和应用，特别是进行结 构的动力学分析。
本书的一大特色是采用 MATLAB 作为编程平台，利用 MATLAB 强大的科学计算和 符号运算功能，帮助读者轻松跨越繁琐的公式推导和复杂的编程技巧，获得最佳的学习效 率。国内基于MATLAB 的有限元分析介绍主要停留在静力学问题分析上，很少或较少篇 幅涉及动力学分析，基于此，系统、深入地介绍基于 MATLAB 的结构动力学分析，是本 书的主要特色之二。本书除了介绍有限元的基本理论，还将介绍作者多年来基于 MATLAB的工程仿真成果，是本书的主要特色之三。
本书详细、系统地介绍基于 MATLAB 的结构动力学的基本分析，在写作上，采用理 论和程序紧密结合的方法，以加强读者的感性认识，更好地理解有限元理论，每章后面都配有丰富和详细的工程仿真和应用实例，这也是诸多与有限元应用有关的本科生、研究 生、科研人员和工程技术人员所希望得到的资料。本书不仅能让不懂此软件分析的读者入门，而且能让入门者进阶，最后达到精通，能让精通者应用到工程实际中，解决实际工程计算仿真和应用问题。
本书的内容共分8章和1个附录。第1章主要介绍有限元的基本方法和应用步骤；第 2章主要讲述结构的动力特性和响应分析；第3～7章主要介绍各种有限元单元以及各种 典型工程结构，包括各种单元的质量矩阵和刚度矩阵的建立以及基本的结构动力学分析 (固有频率的求解和动响应分析);第8章为工程应用和数值仿真部分，主要介绍基于 MATLAB 的结构动力学分析在结构领域的一些应用；附录针对 MATLAB 语言和其他高 级编程语言的不同之处，对MATLAB 在本书中使用到的功能进行简要的介绍。(另外，本 书正文中用句点“.”表示一句话结束，含义与句号“。”相同。)
适用对象：本书内容专业，是一本难得的、系统的工程书籍，能够帮助读者更好地解 决问题，可以作为在校大学生、研究生、教师、工程师和科研人员的参考手册，亦可作为 广大工程技术人员的参考用书。
本书由徐斌(西北工业大学)、高跃飞(中北大学)和余龙(西北工业大学)等负责编写。第 2章、第6章、第8章8.1～8.3节由徐斌编写，第1章1.1节和1.2节、第4章、第5章 由高跃飞编写，第1章1.3节、第3章、第7章以及附录由余龙编写，第8章8.5节由杨 永锋编写。全书的统稿及审校工作由徐斌负责。还要特别感谢家人在作者写作本书时所做 的支持和理解。由于本书程序量大，为了方便读者学习，本书中的所有程序均已存在网站 下载资源中。程序是按章分类的，每个文件名都有一个相应的序号，根据书中的模型名 称，或者 M 文件名称直接在网站下载资源中查找相对应的文件名即可方便地找到。另外，书中所有程序都已上传至科研中国网站 http://www.sciei.com。如果有任何技术问题，
欢迎大家到科研论坛 http://bbs.sciei.com 进行交流，相信您能够得到满意的答复，同时也 欢迎MATLAB 爱好者来这里展现您的能力。
由于作者水平有限，时间仓促，书中不妥之处在所难免，敬请广大读者不吝指正!任 何意见和建议均可通过电子邮箱 xubind@sina.com 发给作者。读者也可通过这个邮箱索取 本书的源程序和数据文件。
徐 斌
于西北工业大学
第 1 章 有限元法基础
1.1 有限元法简介
在工程与科学的现代系统分析中，对复杂系统计算模型的建立进行了大量的研究，人 们已经能够得到系统应遵循的基本方程和相应的定解条件.这些方程一般为常微分方程或 偏微分方程，只有少数问题能够用解析方法得到精确解，多数问题需要利用数值方法来求 解.有限元法(又称有限单元法)是近代发展起来的解决复杂结构问题的一种有效数值方法.
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、按一定方式相互联结在 一起的单元的组合体.由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同 的形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域.有限元法作为数值分析方法的另一个重 要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数. 单元内的近似函数通常由未知场函数或及其导数在单元的各个节点的数值和其插值函数来 表达：这样一来，一个问题的有限元分析中，未知场函数或其导数在各个节点上的数值就 成为新的未知量(也即自由度),从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度 问题.一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，
从而得到整个求解域上的近似解.显然随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者 随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进.如果单元是满 足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解.
从确定单元特性和建立求解方程的理论基础和途径来说，早期提出有限元法时是利 用直接刚度法，它来源于结构分析的刚度法.1963—1964年，有限元法被证明是基于变分 原理的 Ritz(里兹)法的另一种形式，从而使 Ritz 法分析的所有理论基础都适用于有限元 法，确认了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法.利用变分原理建立有限元方程 和经典里兹法的主要区别是有限元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定 的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题.从 20世纪60年代后期开始，利用加权余量法来确定单元特性和建立有限元求解方程的方法 得到了普遍的应用.有限元法中所利用的主要是 Galerkin(伽辽金)法，它可以用于已知问 题的微分方程和边界条件，但是变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，进一步扩大 了有限元法的应用领域!.
近年来，随着计算机技术的快速发展和各种商业化有限元软件的不断完善，有限元法 逐渐成为动力学分析所普遍采用的一种有效方法.
1.2 建立有限元方程的基本方法
1.2.1 加权余量法
基于微分方程等效积分的加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效方法，有限元 法中可以用加权余量法来建立有限元方程.工程中的多数分析问题是以未知场函数应满足 的微分方程和边界条件的形式表示的，一般可表示为未知函数u 应满足的微分方程组
和应满足的边界条件
式中，域Ω可以是体积域、面积域等；而厂是域Ω的边界.上述的未知函数u 可以是标 量场(如温度),也可以是向量场(如位移、应力、应变等).A 、B 是对于独立变量的微分算子.
由于式(1-1)在域Ω中的任一点均必须为零，因而有
其中
是函数向量，是一组与微分方程个数相等的任意函数.
式(1-3)是与微分方程组(1-1)完全等效的积分形式.可以断言，若积分方程(1-3)对于任 意的函数向量V 成立，则微分方程组(1-1)必然在域Ω内任一点都满足.这是因为假定微分 方程组(1-1)在域Ω内某些点或一部分子域中不满足，相应地可找到适当的函数V 使式(1-3)亦不等于零.
同理若对边界上任一点式(1-2)成立，则对于一组任意函数▽有
因此，积分方程
对于所有的V 和▽成立等效于满足微分方程(1-1)和边界条件(1-2).式(1-5)称为微分方程的 等效积分形式，也称为等效积分的“强”形式.在上述的讨论中，假定积分 和 是可计算的，这就要求函数V 和 的选取必须满足可积的条件.
在很多情况下，对式(1-5)可进行分部积分，得到另一种等效积分形式
式中，C、D、E 和F 是微分算子.式(1-6)称为微分方程等效积分的“弱”形式.积分方 程(1-6)中所包含的导数的阶数较式(1-5)中的A 低，这就对函数u 的连续性要求降低，只需 有较低阶的连续性就可以了.在求解域Ω中，若场函数u 是精确解，则在域2中任一点 都满足微分方程(1-1),同时在边界I 上任一点都满足边界条件(1-2).此时，等效积分形式 的式(1-5)或式(1-6)也必然满足.但是对于多数应用问题，这样的精确解是难以获得的，因 而人们致力于寻找具有一定精度的近似解.加权余量法是获取微分方程近似解的一种有效 方法.
对于式(1-1)和式(1-2)所描述的问题，未知场函数u 可用带有待定参数的近似函数来表 示.这种近似函数是一簇已知函数，一般可表示为以下形式
式中，a 是待定参数；N,是称为试探函数的已知函数，可取自线性独立的完全函数序列. 此外，这种近似函数的选取应满足边界条件和连续性的要求.
一般在n 取有限项数的情况下近似解不能精确满足微分方程(1-1)和边界条件(1-2),将 产生残差R 和 R
这种残差称为余量.
对于式(1-5),用n 个规定的函数来代替任意函数V和V
则可得到近似的等效积分形式
表示成余量的形式为
式(1-9)和式(1-10)说明通过选择待定参数a 可使余量在某种平均意义上等于零.W,和 W,称为权函数.
令余量的加权积分为零得到一组方程，可用来求解近似函数的待定参数α,从而得到 原问题的近似解.展开式(1-9),有
以上方程中若A 中的元素个数为m, 边界条件B 中的元素个数为m₂, 则权函数 W,(j=1,2,…,n)是m,阶的函数列阵，W,(j=1,2,…,n)是m₂ 阶的函数列阵.近似函数取的项数n 越多，近似解的精度越高.当项数n 趋于无穷时，近似解将收敛于精确解.
对于等效积分“弱”形式，代入近似解的近似形式为
这种采用使余量积分为零来求解微分方程近似解的方法称为加权余量法，权函数可以 从任何独立的完整函数集来选取.按照权函数选取的不同可以给出不同的加权余量方法.
常见的权函数有以下几种(其他的方法可见参考文献(2).
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