变形梯度是不是绕来绕去？
首先补充向量值函数的泰勒展开形式，函数的自变量和因变量都是向量时，即映射 ，函数的一阶线性化
其中， 是雅可比矩阵。
▲图1
图1所示，为物质运动的参考构型和当前构型，考虑参考构型中邻近的两个点 和 ，当前构型映射到 和 。位于 的点 经过一段位移 后到达 处的
对于 ，同理可得
(2)代入(3)可得
由(1)将 展开
因此
(6)代入(4)可得
其中， 就是用物质坐标表示的位移梯度张量，写成矩阵形式
▲图2
如图2所示，变形后的 在当前构形上的空间矢径表示为
泰勒展开可得
其中
是变形梯度。上面的描述使用分量形式可表示成
由(7)(9)可知，变形梯度和位移梯度之间的关系为
例子🌰
三维拉伸运动可通过以下方式来描述
由(2)可得
位移梯度张量
变形梯度张量
二者满足
均匀变形是指变形梯度张量与坐标无关。上述例子即是均匀变形，如果我们只有刚体平移，则运动为 ，其中 为常数平移量，变形梯度简化为单位张量 。显然，刚体运动变形梯度不会改变。
整体变形过程通过两个或多个独立步骤依次完成。考虑由两个步骤组成的变形过程——先发生变形（1），再发生变形（2）。第一步变形可表示为 ；同理，第二步变形为 。由此可得出结论：对于“先 、后 ”的两步连续变形过程，整体变形梯度由乘积 给出。整体变形可写为：
需注意，矩阵乘积的顺序与变形步骤的顺序相反；改变这个顺序会导致完全不同的最终变形。这一概念可通过图3直观展示：图中说明了两种“顺序交换”的两步连续变形，显然，改变变形序列的顺序会使最终变形差异显著。
▲图3
基于之前的研究，我们引入空间变形梯度张量 ，其定义为：
它将空间线元 映射到物质线元 ，满足：
张量 被称为“变形梯度 的逆”，因为：
需注意：变形梯度 既包含空间坐标 ，也包含物质坐标 （通过梯度运算 耦合）。空间变形梯度 也有相同特点。因此， 和 都被称为两点张量（two-point tensors）——因为它们同时关联“物质构型”和“空间构型”。有时，这些张量也写成外积形式：
其中 是空间基向量， 是物质构型的基向量。
