程序员思维的力学分析--分治法

顾名思义，分治的基本思想就是将一个原本困难的问题，分解成为易于处理的子问题的集 合，然后分别对子问题进行处理，并最终将子问题的处理结果汇总，得到原问题的解。

举个最简单的例子:假设我们有一包花生米，需要数出一共有多少粒，而一个人从头到尾数下去自然比较困难。这时，可以将花生米分成几份，每一份都分给一个人数，当所有人数完后，只需将每个人得出来的结果相加即可。通过这种方式，每个人处理的问题都是比较简单的。分治法就是类似这样的思路，通过分析问题的结构，化繁为简，递归求解。

分治法其实远不止是一种计算机领域的算法，它本质上是一种思维方式，小到日常生活，大到治理国家，都可将其作为一种处理问题的策略。比如将南阳盆地分属几个不同的省就是分而治之的思想。

那么分治法在力学中有哪些应用呢。

在结构分析中，经常要对一些十分复杂的结构进行总体动力分析，如超高层建筑。这种结构的有限元模型可能含有上千万计的自由度。如果直接计算，往往为计算机条件所不能允许，这时可以通过划分子结构以实现特征方程的降阶。同时，考虑到大型复杂结构的制造或者是施工过程，有的分部件制造，有的分区域施工，然后组成一个大系统。这个过程正好符合模态综合法“先修改后复原”的思想，先将结构划分为彼此独立自由度较少的子结构，使其容易分析，然后将各子结构装配恢复成原先的结构，最终获得总体动力特性参数。

动态子结构法的一个突出特点是子结构的模态特性既可以从计算中得到，也可以通过试验获取，从而灵活地把试验与计算结合起来，也方便了模型验证或模型修正。子结构法的思想是于20世纪60年代提出的，之后经进一步的改进和发展已经成为大型复杂结构系统的有效计算方法。

模态综合法的全称为动态子结构的模态综合法，又称为子结构法，模态(Mode)也称为振型。其基本思想为通过将结构划分为若干个相对小的子结构(部件)，分析子结构的振动特性，仅保留其少数几阶低阶模态，将各子结构的低阶保留模态通过交界面的位移协调条件合成为总体结构的模态，然后进行分析计算。这样通过对子结构的模态缩减从而减少了总体结构模态的自由度。

在计算子结构的固有模态时，可以令交界面完全固定，也可以完全自由，前者称为固定界面法，而后者称为约束界面法。

子结构的模态综合法通过子结构模态的截断达到缩减总体结构动力自由度的目的。界面位移综合法通过另一种途径，即把子结构的内部自由度直接向其交界面凝聚，从而有效地缩减结构系统动力分析的自由度。由于界面位移综合法不涉及子结构模态坐标的概念，不进行子结构主模态分析，因而原理简明、方法简单。不同的子结构凝聚方法形成不同的界面位移综合法，Guyan 静力凝聚和 Kuhar动力凝聚是对结构的次要自由度(副自由度)进行约化降阶的两种方法。