作业6-第3题答案
题目：⊥形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图 3 所示。若材料的拉伸许用应力 ，压缩许用应力 ，试计算该梁的许可载荷 ，并计算梁在许可载荷作用下的最大切应力。
0. 截面几何性质计算
首先确定形心位置 和截面惯性矩 。 将 形截面分为底部的翼缘（1）和上部的腹板（2），取截面底边为参考轴：
翼缘 (1)： ， 。 面积 ，形心至底边距离 。 腹板 (2)： ， 。 面积 ，形心至底边距离 。 总面积： 。
形心至底边的距离 （即图中 ）：
形心至顶边的距离 （即图中 ）：
截面对形心轴 的惯性矩 （由平行轴定理）：
1. 求支反力 & 2. 画出剪力图 & 3. 画出弯矩图
通过从自由端 向固定端 截取分离体，可直接写出内力方程（设距 端距离为 ）：
段 ( )： 剪力 弯矩 。 在 点 ( )，** **。（负弯矩，截面上拉下压） 段 ( )： 剪力 弯矩 。 在 点 ( )，** *。（正弯矩，截面下拉上压） 
4. 根据弯矩图极大值点，确定危险截面
由弯矩分布可知，全梁存在两个危险截面：
固定端 截面：承受全梁最大正弯矩 ，此时底边受拉、顶边受压。 
受力点 截面：承受全梁最大负弯矩 ，此时顶边受拉、底边受压。 
5. 根据铸铁拉伸、压缩许用应力，设计载荷
需对截面 和截面 的拉、压边缘分别进行校核（共4个条件， ， ）：
① 截面（下拉上压）：
底边拉应力： 顶边压应力：
② 截面（上拉下压）：
顶边拉应力： 底边压应力：
结论：综合上述四个限制条件，必须取最小值以保证梁的绝对安全。 因此，**该梁的许可载荷 **。（由 截面顶部的拉应力控制）
附加：计算梁在许可载荷作用下的最大切应力
最大剪力位置：由剪力图可知，全梁各段剪力绝对值均为 。 最大切应力位置：发生在中性轴处（腹板内，宽度 ）。 计算中性轴上方（或下方）的面积静矩 ： 取中性轴上方的腹板面积： 。 该面积形心至中性轴的距离： 。 
计算最大切应力 ：
最终答： 该梁的许可载荷为 ** **；在此载荷作用下，梁的最大切应力为 ** **。
好的，完全按照教科书的标准规范：以中性轴为原点（ ）， 轴正向向下。我们使用中性轴下方的面积来重新严格推导最大切应力。
根据前文计算，形心距离底边的真实距离为 。
也可以用中性轴下半部分计算 。
1. 建立坐标系与几何边界
原点：中性轴 所在位置（ ）。
轴正向：向下为正。
底边坐标： 。
翼缘与腹板交界处坐标： 。
2. 确定最大剪力与宽度
全梁最大剪力绝对值： 。
最大切应力发生在中性轴处（ ），该处的截面宽度为腹板宽度： 。
3. 计算中性轴下方面积的静矩
中性轴下方的面积（）由两部分组成：中性轴下方的部分腹板 和 底部的整个翼缘。我们分别计算它们的面积形心坐标并求和：
第一部分：中性轴下方的腹板
宽度 ，高度区间为 。
面积 。
形心坐标 。
静矩 。
第二部分：底部翼缘
宽度 ，高度区间为 （高度为 ）。
面积 。
形心坐标 。
静矩 。
下半部总静矩 ：
(注：由于坐标均在 轴正半轴，求得的静矩为正值。如果保留分数进行绝对精确计算，其值为 ，与前文取上方计算得出的绝对值完全一致)。
4. 计算最大切应力
将数值代入普遍切应力公式：
验证启示：
从计算量上看，取中性轴上方（仅包含一个简单的矩形：上腹板）求静矩，比取中性轴下方（需要将腹板下半部和翼缘两部分相加）要简单得多。
因为整个截面对形心轴的静矩之和必然为零（ ），所以 。在实际做题或工程校核时，总是优先选择截面结构更简单、面积块数更少的那一侧来计算静矩，这样能极大降低出错概率并提高计算速度。
