作业2 答案第一部分
一、等截面直杆在自重作用下的强度与变形分析
如图所示，一长为 、横截面面积为 的等截面直杆垂直立于地面。已知材料的密度为 ，弹性模量为 ，重力加速度为 。
试求：
杆件由自重引起的最大正应力 ； 杆件的轴向总变形 。
1. 建立坐标系与载荷分析
取杆件顶端（自由端）为原点，建立全局坐标系，轴线 方向垂直向下为正。 单位长度重力（分布线载荷）为：
2. 内力分析（轴力 ）
取距离顶端为 的任意截面，考察该截面以上的隔离体。该隔离体受到向下的重力 和截面处向上的轴力 。根据 方向的静力平衡方程 ：
解得该截面处的轴力为：
结果说明： 轴力 为负值，说明杆件内部受压，符合力学中“拉正压负”的符号规定。
3. 最大正应力 计算
任意截面 处的正应力为：
由于应力绝对值随 的增大线性增加，当 （即杆件底部的固定端截面）时，压应力达到最大值：
4. 轴向总变形 计算
由于轴力是 的连续函数，需采用微元积分法求解总变形。取一长度为 的微段，其变形量 为：
对全杆长度范围 进行积分，得到总变形量：
结论： 最终计算结果为负号，物理意义明确，表示杆件在自重作用下发生了压缩变形，总长度缩短了 。
二、第二题答案见前面单独文章分析
方法1：
第二十二夜：从圆弧到垂线的几何美学：平面拉压杆节点位移求解（图解法）
方法2：
第23夜：坐标系的魔法——如何“锁死”消失的节点（作业2第二题代数方法）？
三、两杆连接节点的位移分析
如图所示，结构由两根材料、截面积均相同、抗拉模量均为 的钢杆组成。杆 1 为垂直放置，长度为 ；杆 2 与垂直方向成 角。两杆在节点 处连接。在节点 上作用一竖直向下的外力 。
试求：
各杆的轴力 和 ； 节点 的水平位移 、垂直位移 以及总位移 。
1. 力平衡方程（静力平衡）
对节点 进行受力分析，建立静力平衡方程。设节点 受到杆 1 的轴力为 ，杆 2 的轴力为 （初设均为拉力）。
水平方向平衡 ( )：
解得：
垂直方向平衡 ( )：
将 代入得：
分析： 由于结构的不对称性以及外力的单一方向，杆 2 在平衡状态下不分担任何载荷，所有载荷均由垂直杆 1 承担。
2. 物理关系（胡克定律）
根据各杆的轴力和已知参数，计算各杆的长度变化量 ：
杆 1 的伸长量 ：
杆 2 的伸长量 ：
3. 位移几何关系（变形协调）
设节点 的水平位移为 （向右为正），垂直位移为 （向下为正）。利用位移投影规律列方程：
杆 1 投影方程：
由此得：
杆 2 投影方程： 由于节点 的移动，杆 2 的长度变化量 应满足：
将 代入上式：
解得水平位移 ：
4. 总位移计算
节点 的总位移 为水平位移与垂直位移的矢量和：
利用三角恒等式 ，简化得：
结论： 节点 在外力 作用下，其垂直位移主要由杆 1 的拉伸决定，而由于杆 2 的约束，节点被迫产生了一定的水平位移，最终的总位移与角度 的正弦值成反比。
四、超静定刚性梁支柱内力分析
如图所示结构，水平梁 可视为刚性梁，左端 为铰支座。梁由二根材料相同、横截面面积相等（均为 ）的钢杆 1 和 2 支撑。已知：
杆 1 垂直向上，长度为 ，支撑点距离 为 。 杆 2 为倾斜杆，与垂直方向夹角为 ，其在梁上的支撑点距离 为 ，且杆 2 的垂直投影高度亦为 。 梁的右端 点（距离 为 ）作用一垂直向下的外力 。
试求： 两根支撑杆的轴力 和 。
1. 静力平衡方程
取刚性梁 为研究对象，对支座 取力矩平衡方程 ：
简化得：
2. 变形协调方程
假设刚性梁绕 点转过一个微小角度，设杆 1 处的垂直位移为 ，杆 2 处的垂直位移为 。根据相似三角形比例关系：
由于杆 2 是倾斜的，其轴向伸长量 为该点垂直位移在杆轴线方向的投影：
整理得协调方程：
3. 物理关系（胡克定律）
根据两杆的几何长度和受力，表达其变形量：
杆 1：长度为
杆 2：长度为
4. 补充方程联立
将物理关系代入变形协调方程：
约去相同项，得到 与 的补充关系：
5. 求解最终轴力
将补充关系代入静力平衡方程：
最终解得：
