超弹性本构：Neo-Hookean
之前介绍了最简单的弹性、还有很复杂的塑性。今天说一说超弹性，本质上超弹性还是一种弹性，但是是非线性的弹性，也就是说你不能简单的认为弹性矩阵的系数不变，而其在卸载之后还能恢复成原样。我们生活中常见的橡胶大多可以采用这种本构模型 今天要说的Neo-Hookean超弹性本构是描述橡胶等超弹性材料力学行为的最简单模型之一，其核心思想是通过应变能函数建立应力与应变的关系。以下是具体推导过程：1. 应变能函数在小变形假设下，Neo-Hookean模型的应变能密度函数为 （这是最为简单的表现形式，对于Abaqus、Ansys这类商用软件中会比这个用的复杂一些）： 参数： ：剪切模量（Shear Modulus），表征材料的剪切刚度。 ：第一应变不变量， 为右Cauchy-Green变形张量。那么有了应变能函数，如何求应力，还有应力与应变的关系呢？因为我们需要这个关系来做数值求解，生成矩阵啊。其实逻辑也很简单，能量对于应变的导数就是应力，应力再对应变求导不就得到了“切线刚度”，这就跟高中物理学的能量对于位置求导等于力，力对弹簧长度求导等于弹簧刚度没有什么不同。 对于隐式求解则还需要求一个二阶导数，而对于显式求解这就完事了。(这里用了PK2 应力 与柯西 应力的转换公式)，不懂的可以看这里 上述公式由于是极度简化的，对于隐式已经不合理了，其内含了假设体积永远不变（而真实完全不是这样），正常来说至少要用如下的公式进行求解 大家可以在任何一本教科书上找到进一步的推导，只要记住一步步的求导您就能得到应力与应变的关系。其他集中类型的超弹性本构推导的核心思想是类似的，只是大家要熟悉各种张量求导的数学运算，耐心的去推导。就我个人感觉其实工程中Neo-Hookean用的都比较少了，但之所以介绍他就是因为大家可以以小见大，了解其他的超弹性本构的推导方法，当然涉及到各个不同的模型，定是要努力推导一番的。模型参数数量适用应变范围复杂度典型应用Neo-Hookean 1-2 小~中等（<40%） 低 橡胶密封件、简单变形分析 Mooney-Rivlin 2-3 中等（~100%） 中 复杂变形、多轴应力状态 Ogden 3-5 大（>100%） 高 高度非线性大变形（如气球） 来源：大狗子说数值模拟
