玻尔兹曼眼中的流体力学：从基础概念到介观视角

（一）理想流体与实际流体

对某些粘性影响不大的流动问题，忽略粘性所得到的结果与实际结果往往差别不大。而对于必须考虑粘性作用的流动问题，除了使用更典型的有粘方法，也可专门对粘性作用进行分析，然后再对理想流体的结果进行修正和补充。

（二）牛顿流体与非牛顿流体

牛顿于1686年提出了著名的“牛顿内摩擦定律”——流体的内摩擦力（即粘性力）的大小与流体的性质（粘性系数μ）有关，并与流体的速度梯度和接触面积成正比。

连续介质假定：N-S方程描述了基于连续介质假定的牛顿流体的动量守恒。“连续”是一个比较直观的概念，而衡量连续与否的关键参数是努森数（Kn），即分子平均自由程与物理尺度的比值。

努森数的意义：努森数越大，意味着物理尺度和分子平均自由程越接近，分子的离散效应越强，研究中越不能忽略分子之间复杂的作用力；反之，努森数很小，意味着物理尺度远远大于分子自由程，不再关注分子团内部的相互作用，转而研究其宏观状态的密度、速度、压力等参量。

当Kn<0.001时，可认为流体满足连续介质假定（如常温常压下0.07mm的物理尺度）；Kn较大时（如极稀薄气体），需用分子动力学描述。

（四）热动平衡与非热动平衡

除了上面提到的牛顿流体、连续介质假定两个前提条件，N-S方程还有一个局限——它只适用于大尺度的缓变行为，也是我们通常所说的“热动平衡”或“准热动平衡”的状态。此时分子热动松弛时间远小于宏观尺度。现实中大部分流动都属于这两类。而冲击、爆炸等场景则属于非热动平衡状态，分子热动松弛不可忽略。

流体的基本方程本质上是质量、动量和能量守恒方程，而N-S方程只是在宏观上基于连续介质假定，利用偏微分方程描述粘性流体流动的运动方程，仅仅是流体基本方程的一种表达方式。而N-S方程反映的就是牛二定律F=ma。我们先来回顾一下用欧拉法描述的N-S方程的推导过程：

1859年，麦克斯韦发现在宏观系统中追踪每个分子的运动轨迹难以实现，于是产生了统计平均的概念。麦克斯韦认为，任意时刻单个分子的速度和位置信息并不重要，分布函数才是描述分子效应的重要参数。速度分布函数给出了在某一给定时间，速度在一定范围内的分子在整个系统中所占的百分比。当气体处于热动平衡状态时，气体将均匀的分布，而唯一的未知量就是速度分布函数。

这种方法并非直接描述流体的速度、压力等宏观变量，也非直接描述每个流体分子的微观运动，而是用统计的方法描述空间内流体粒子的速度分布。其描述方式介于宏观和微观之间，被称之为介观。玻尔兹曼更进一步将麦克斯韦分布推广到任意大系统，他第一个认识到熵的热力学概念和大系统状态的统计分析之间的紧密联系，即宏观变量中系统的熵随着时间增大，与微观分子排列的最大可能数相对应。

任意大系统虽然不像麦克斯韦的描述那么平均，但会趋向于平均。比如我们用活塞将盒子内的分子都压到一侧，松开活塞后，分子将迅速扩展到整个盒子空间并趋于均匀分布。

对于这样的过程需要有更详细的数学描述。于是，玻尔兹曼输运方程及其质量、动量和能量守恒方程便呼之欲出了。通过这些方程先求解出粒子的介观分布，进而可推导出宏观属性。

至此，我们可以对玻尔兹曼眼中的流体力学做个总结：使用拉格朗日方法观察处于介观尺度下的流体粒子的分布规律，并使用统计学思路研究其输运与守恒，并通过积分将介观的速度分布函数和宏观的物理量建立联系。

也许，很少有人关注细小砂砾的运动，而它恰恰是形成各种复杂山体结构的本源。如果说传统CFD方法是“通过外表看现象”，那么LBM方法则更像是“通过本质看现象”。

（一）传统N-S方程的数值求解

有限体积法（FVM）将流体域离散为控制体网格，在每个网格上应用N-S方程进行求解，是工程中常用的方法。

（二）格子玻尔兹曼方法LBM的特点

两种数值方法主要区别见下表，可见这是两套完全不同的思路和实现方法。LBM虽是求解粒子的速度分布，形式上是一种统计的方法，但其本质上仍是追踪离散粒子的运动，最终获取整个流场的粒子状态，是一种比N-S方程更接近物理本质的描述。

流体力学的研究从宏观的 N-S 方程到介观的玻尔兹曼方程，如同从观察山体结构到探究砂砾运动。LBM 方法通过介观尺度的描述，为我们提供了更接近物理本源的视角。