13-《非线性分析》

一、线性分析与非线性分析

    在《材料力学》中刚度定义为k=F/x（F是作用于结构的恒力，x是由于力而产生的形变），是指材料或结构在受力时抵抗弹性变形的能力，表征材料或结构弹性变形难易程度。

    线性分析与非线性分析间根本区别就是“刚度是否发生变化”。

【1】线性分析（linear）

    定义：指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；分析过程中刚度保持不变。

    如果在分析过程中，外载荷与模型的响应之间为线性关系，去掉载荷后，模型能够恢复至初始状态，增量之间成固定的比例关系，其刚度不会发生变化，这就是一个线性分析，线性分析特点是：

    ① 几何方程的应变和位移的关系是线性的。

    ② 物理方程的应力和应变的关系是线性的，满足胡克定律。

    ③ 根据变形前的状态建立的平衡方程是线性的。

    ④ 可以满足叠加原理。

不满足以上中任意一条即为非线性分析。

【2】非线性分析(non-linear)

    定义：非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变；分析过程中刚度随分析变化。

    实际工程中有一些结构体系并不满足线弹性体系的基本假设，这样的结构体系称为非线性体系，此时体系的受力分析称为非线性分析。

    根据形成原因的不同，分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。

二、材料非线性

    材料非线性即材料的应力应变关系为非线性。

    由于材料本身非线性的应力－应变关系（不满足线性方程 σ=Eε ）导致的结构响应非线性叫材料非线性。除了材料本身固有的应力－应变关系外，加载过程的不同，结构所处环境的变化（如温度的变化）均可导致材料的应力－应变的非线性。

    非线性分析中，最典型的分析是材料非线性，包括弹塑性分析、超弹性分析、弹塑性分析等就是人们常说的一般指的材料非线性分析。

应力-应变曲线

    上图为金属单轴拉伸的应力-应变曲线，其变形分为线性段和非线性段；

线性变形：在直线oa段内σ与ε之间呈线性关系，称为比例阶段，也称为线弹性阶段。应力-应变关系满足胡克定律σ=Eε，如果卸载外力，应力和应变都回到零；直线的斜率就是弹性模量。

非线性变形：在直线bf段内σ与ε之间呈线非性关系（σ≠Eε），应力超过屈服强度会产生塑性行为，也就是卸载后变形不能完全恢复，残留的部分变形就是塑性变形。

以下是两种典型材料的非线性应力应变曲线；

（1）超弹性材料

超弹性材料

超弹性材料性质：

                  ① 大弹性、大变形；

                  ② 几乎不可压缩；

                  ③ 应力应变关系表现出高度非线性；

（2）金属塑性

金属材料

三、几何非线性

    随着载荷的增大，结构发生了很大的变形时，其几何截面发生了明显的变化结构刚度也与初始状态不同，所以变形不再呈现比例关系，表现出非线性特性。

    几何非线性是位移的大小对结构的响应发生影响，包括大位移、大转动、初始应力、几何刚性化和突然翻转等问题。

    鱼竿钓鱼是典型的的几何非线性案例；

    鱼竿一端固定在手中，另一端钓上鱼（一个质量），在承受弯矩后会发生较大的弯曲，那么弯矩的力臂长度会发生较大的变化；鱼竿产生大变形导致的几何非线性。

四、状态非线性

    由结构所处状态的不同引起的响应的非线性叫状态非线性，也称为边界条件非线性。状态非线性的刚度随状态的变化而变化，接触问题是最典型的状态非线性问题。

    接触问题其特点是：边界条件不是在计算的开始就可以全部给出，而是在计算过程中确定的，接触体之间的接触面积和压力分布随外载荷变化，同时还可能需要考虑接触面间的摩擦行为和接触传热。

齿轮啮合就是一个典型的接触非线性问题；

齿轮啮合

单个齿轮受力

五、求解非线性问题的一般方法

    在线性有限元分析中，总是先建立方程然后求解。非线性有限元则不然，往往是求解的理论和各自特殊的求解过程以及方程的解法融合在一起的。

主要的方法有：

           1.迭代法

              (a) 直接迭代法（刚线刚度法）

              (b) Newton-Raphson 迭代法（切线刚度法）

Newton-Raphson 迭代法

           2. 增量法–纯增量法

           3. 混合法–增量/ 迭代型方法

下面给出求解非线性问题的流程粗框图：