弹性力学边值问题内容精要

弹性力学的三类基本方程，它对任何弹性体都是相同的，不同的是研究的弹性体不同，比如形状不相同，所受外力不相同，这些不相同中就包括了边界条件的不相同。

在确定的边界条件下求解基本方程，称为弹性力学的边值问题。

边界条件可以是在边界上给定面力作用，也可以是位移约束条件，也可以是面力与位移的共同作用和限制条件等。这里只介绍简单的边界条件。

首先介绍应力边界条件。它给出了弹性体在边界上的外力，只在边界上作用的外力，只能是面力了，此时，要求应力解答满足柯西公式。

第二类是位移边界条件，就是在物体表面上给定位移的情况，比如固定边界就是此边界处不能有位移，也不能有转角，即位移和转角都为0。

这是常见的两种边界条件，更复杂的是边界上的面力和位移耦合的约束条件，比如弹性支承就是这类条件，这里不讨论复杂边界条件。

弹性力学问题求解途径有哪些呢？

对于应力边界条件，最好的方法是应力解法，即以应力作为基本未知量进行求解，这是平面问题最成功的求解方法。

自然，还有位移解法。位移解法是猜测位移解答，再求出应变场和应力场，令应力满足两类平衡方程，这就是真实的位移解答了。

在弹性力学边值问题中，在物体表面上给定的应力边界条件或位移边界条件，应该是每一点都严格满足的。事实上，实际的工程问题中，有时只知道作用于物体表面某小部分区域上的合力和合力矩，难以用解析表达式精确给出每一点的面力表达式。例如，杆件受拉时，在其端部有集中力的作用，只知它在端部的大小，不知道端部各点的面力分布，但可以肯定，端部力的分布方式不论如何，在远离端部的杆中间段，应力分布是基本相同的。

根据大量的实践及计算，圣维南总结出了如下的原则：作用在弹性体表面上一个局部区域内的力系，可以用一个与其静力等效的任意力系来代替，由它们产生的应力分布在力系作用区域的范围内有显著不同，在离开力系作用区域相当远的范围内，其应力分布几乎是相同的。这一原理称为圣维南原理。

这里需要强调的是，圣维南原理要求力系作用的静力等效和力系作用范围是局部的。有了圣维南原理，应力边界条件就可以放松了，即只考虑合力和合力矩相等就可以了。

正确提出边界条件是正确弹性力学问题的关键，否则就是无解的或者是没有意义的解答。