有限元仿真分析误差来源之固有频率

式（2）代入式（1）可得

这样就可以解得一系列，，当该系统为单自由度系统时，只有一个 ，即

以前我总是把这个，当做固有频率。直到有一天，做模态试验。试验得到了一系列的模态质量、模态刚度和固有频率的数值。我就套用上面的公式试了下，发现通过模态质量和模态刚度计算出来的固有频率，和试验得到固有频率值差 。

后来就查书，发现这个 应该叫角频率，固有频率是

通过算例，来验证下。

一个受正弦载荷的梁，计算端部位移。通过模态分析得到该模型的一阶固有频率为5.46Hz。设定外载荷为，通过瞬态动力学分析，并提取端部的位移值得到结果如下。

为静载荷作用下的位移：

，

可以看出理论计算值和仿真值吻合度很好，认为仿真分析是合理的。

从频域分析的角度，采用频响分析会得到什么结果呢？还是图1的模型，定义载荷如下图所示。

提取受力点计算结果，得到如下图所示。

在频率为5.46H处，形变位移响应幅值达到。明显远大于上文计算的 的计算结果。为什么会这样呢？

原因在于载荷的作用时间。上一节中载荷作用时间只有0.092s，也就是半周期。而频响分析对应的瞬态动力学分析是在时域上频域上计算无穷个正弦周期，即 

为了验证这一点，在时域把计算时间变长，得到计算结果如下所示。

可以看到最大形变量为和频域分析的计算结果基本一致。但是时域分析会耗费大量的计算时间，相比之下，频域分析会更有效率。

三、结论

通过对固有频率的讨论，我们得到以下几点结论

1、是角频率，不是固有频率。只有当外载荷的角速度或者频率和设备的角频率或者固有频率对应相等时，才会发生共振，产生较大的响应。

2、频域分析和时域分析可以互相转换。但如果时域载荷作用时间较短，在频域分析上不能简单的对应计算。