数值计算|基本思想及常用数值方法

导读：介绍数值计算的基本思想及常用方法。

• 将求解区域用与坐标轴平行的一系列网格线条的交点所组成的点的集 合来代替。
• 每个节点上，将控制方程中每一个导数用相应的差分表达式来代替，从而在每个节点上形成一个代数方程。
• 每个方程中都包括了本节点及其附近一些节点上的未知值，求解这些代数方程就获得了所需的数值解。

• 计算区域划分为一系列控制容积，每个控制容积都有一个节点来代表。
• 通过将守恒型的控制方程对控制容积做积分来导出离散方程
• 导出过程中，需要对界面上被求函数本身及其一阶导数作出假定，这种构成方式就是有限容积法中的离散格式。

• 将计算域分成一系列元体，每个元体取数个点作为节点，然后通过对控制方程做积分来获得离散方程。
• 与有限容积法不同，FEM需要选定形状函数，通过节点上被求变量来表示形状函数，积分前将其带入控制方程。
• 控制方程积分前需要乘上一个权函数。
  

• 与有限差分法类似，用一系列网格线将区域离散；
• 不同的是，每个节点与相邻的4个网格（二维）组成计算单元，也就是说一个计算单元由一个中心节点与8个邻点组成。
• 在计算单元中将控制方程的非线性项局部线性化，并对单元上未知函数的变化型线做假设，把所选定的线型表达式中的系数和常数项用单元边界节点上未知变量值表示，这样计算单元中的被求问题就可以转化为第一类边界条件下的一个定解问题，可以得到解析解。
• 利用这个解析解，得出该单元中点及边界上的8个邻点上未知值间的代数方程，此即为单元中点的离散方程。