有限元分析的应力奇异与应力集中：L 形支架的假峰值

有限元的计算报告里经常出现这样的数字，内角处 von Mises 应力 312 MPa，超过许用值，判不合格。

此数字有可能是假的。如果该处是尖角，则峰值应力没有有限值。网格加密一倍，其上涨 40%。这不是结构的属性，是网格属性。

奇异与集中只有一字之差，但性质完全不同。应力集中是可评定的。应力奇异是不可评定的。将两者混淆是强度评估中最常见的错误。

  奇异与集中的数学区别 

应力集中的峰值是有限

例如，圆孔     。圆角      取决于半径比。通过加密网格，应力峰值收敛到一个确定的数。

应力奇异的峰值是无限

    为距奇异点的距离。     为奇异指数，由局部几何决定。例如，270° 内凹角的 Williams 理论值为     。离散模型中峰值采样在最近单元的中心，距离正比于单元尺寸     。因此峰值随加密按      增长，见式 (3)。

网格每加密一倍，峰值乘以     。这就是虚假峰值的机制。区别见图 1。

 

 

 实验：L 形支架 

考虑的模型为 L 形支架。竖直腿上端固支。水平腿右端受竖直向下单位力。内凹角位于 (1, 1)。平面应力。单元为四节点四边形。载荷一致节点力施加。

尖角峰值的发散与幂律验证

在四种网格密度下，提取角点相邻单元的     ，以及角区两邻接单元的      较大值，见表 1。

表 1　尖角峰值随网格加密的增长

每加密一倍网格，σx 峰值增长约 43%。对式 (3) 取对数拟合，实测等效指数     。与理论值 0.5445 的偏差为 5%，量级一致，见图 2。偏差的来源是单元中心采样对奇异场的平滑。

 

 

判据很简单。应力峰值随网格加密持续上涨，且近似直线（log-log），即为奇异。网格每加密一倍，应力峰值上涨 40% 是 270° 角的特征。

 三种评定量的对照

同一个模型，三种量，三种命运，见图 3。

 

 

（1）角点峰值从 2.8 涨到 8.3，无 界。

（2）热点应力保持有界。热点应力的定义是固定距离      处的应力，见式 (4)。

本文取     。其值在 3.2 至 3.5 区间波动，不发散。波动来自插值与网格方向，幅度约 5%。疲劳规范中的热点应力法 正是基于这个性质。

（3）名义应力快速收敛。竖直腿根部的名义弯曲应力从 0.620 收敛到 0.483。增量按几何级数衰减。两档加密即可用于评定。

工程处理

判别与处理流程见图 4。

 

 

四种处理方法

（1）加圆角。设计层面消除奇异。圆角半径决定峰值上限，见式 (3) 中      换成     。

（2）热点应力评定。奇异无法避开时，在固定距离取应力，配合规范曲线使用。

（3）名义应力评定。用净截面梁理论计算，避开局部峰值。适用于静强度。

（4）采用子模型。全局粗糙模型提供边界条件，局部精细模型只算集中区。圆角必须进入子模型，否则子模型里的尖角依然是奇异。

 结  论 

应力奇异与应力集中的区别是收敛性。本文的 L 形支架算例显示，尖角峰值按      发散，与 Williams 理论一致；热点应力有界；名义应力收敛。强度评定不应引用尖角峰值。先判别，再选方法。把超标两个字留给真正可评定的数。