如何有效提高多尺度（多孔结构）拓扑优化方法的创新性？

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一、前言

拓扑优化是一种前沿的结构创新设计方法，可在既定约束条件下自适应求解材料最优分布方案，充分挖掘结构性能。相较于传统的尺寸优化与形状优化，拓扑优化具备更高的设计自主性和创新度，现已广泛应用于各类工程结构设计领域。

多孔超材料及轻量化填充结构凭借优异的综合性能，在航空航天、医疗植入、先进制造等高端工程领域具备不可替代的应用价值。为适配复杂工程设计需求，多尺度（多孔结构）拓扑优化技术目前已形成阶段性研究成果。本文梳理目前我们团队掌握的四类多尺度（多孔结构）拓扑优化方法，以供大家参考学习，具体包括：控制最大特征尺度方法、局部体积约束方法、周期性结构控制方法、波干涉驱动的拓扑优化方法。

二、多尺度（多孔结构）拓扑优化方法

2.1控制最大特征尺度方法

本小节的方法在COMSOL官网案例“最大长度受限的 MBB 梁的拓扑优化”[1]有完整的教学。接下来，讲一下这个方法的基本原理，我们都知道COMSOL的变密度接口中有一个内置的“亥姆霍兹过滤器”功能，这个“亥姆霍兹过滤器”其实是控制拓扑优化结构的最小尺寸，“控制最大特征尺度方法”其实就是人为再定义一个控制结构最大尺寸的“亥姆霍兹过滤器”，这样拓扑优化所生成的结构就能被控制在“最大值”和“最小值”之间，当“最大值”足够小，就能形成多尺度、多孔结构。

仿照COMSOL官网案例的设置，如图1所示，我们团队做了一个控制最大特征尺寸的负载膝状结构的拓扑优化。图中我们分别设置了两种“最大值”，可以明显看到两组负载膝状结构的尺寸有明显的不同。

图1

图1的案例，我们是完全按照COMSOL官网案例的方法进行设置的，创新性比较低。对COMSOL官网案例的方法稍加改良，如图2所示，我们做了包含梯度效应的负载膝状结构的拓扑优化。可以看到，从左到右，结构的尺寸组件增大。

图2

如图3所示，我们甚至还将相关方法，应用到液冷板的拓扑优化中，控制流道的“最大尺寸”。动图展示了三种最大特征尺寸控制下的液冷板的拓扑优化情况。

图3

2.2局部体积约束方法

“局部体积约束方法”原理其实就是将设计域划分成若干离散的子区域，通常会利用P范数控制所有子区域体积分数的最大值，以此实现多尺度（多孔结构）的拓扑优化。2024年10月23日，我们团队在B站就发布过相关的MBB梁拓扑优化的案例，如图4所示。子区域划分得越小，生成结构的尺寸就会越小，图中我们展示了三组不同子区域尺寸下的拓扑优化结果。

图4

子区域划分属于重复性工作，适合通过编程实现自动化处理。本小节的案例，其实也是我们团队首次将COMSOL和编程语言结合的尝试，案例采用了JAVA程序完成子区域划分与体积分数参数的批量化设置，有效降低人工操作成本。

2.3周期性结构控制方法

本小节所讨论的“周期性结构控制方法”是我们团队结合COMSOL的特点自行探索的一种方法，如有雷同，实属巧合。如图5所示，是一个悬臂梁受力拓扑优化的案例。通过该方法，可以拓扑优化出具有周期阵列特性的结构。

图5

我们团队也成功的将本小节的方法应用在液冷板拓扑优化中，如图6所示。图中液冷板的流道被划分出周期阵列的形状，有利于后期的设计加工。

图6

进一步的，我们团队还将“周期性结构控制方法”进行延申，提出“变大小的周期性结构控制方法”。如图7所示，展示了悬臂梁受力的拓扑优化过程。从图中可以看到“基本单元”的大小呈现可控的大小变化。

图7

除了方形的设计域，我们还将该方法迁移到圆形设计域的飞轮拓扑优化案例中，如图8所示。从图中可以看出，“基本单元”在圆周方向和径向上都呈现规律的周期性阵列分布。

图8

2.4波干涉驱动的拓扑优化方法

本小节的方法我们参考的是一篇大连理工发表的论文[2]。2026年8月14日这篇论文才在知网上公开，当天我们团队就恰巧下载了这篇论文学习。我们团队基于“波干涉驱动的拓扑优化方法”做了一个MBB梁的拓扑优化案例。如图9所示，展示了“波”相互干涉的情况（为了动图输出方便，仅选取计算过程中若干个典型的波进行输出）；如图10所示，展示了MBB梁的拓扑优化最终结构形状。

图9

图10

温馨提示，这个案例计算时间贼长，如图11所示。

图11

三、如何有效提高多尺度（多孔结构）拓扑优化方法的创新性？

上一节所涉及的四种多尺度（多孔结构）拓扑优化方法，有的提出时间已经比较久，有的还很新，只要找准切入点，都是可以发一些中等偏上层次的文章。但是不可否认，单纯的用已有的多尺度（多孔结构）拓扑优化方法来发文章，创新性还是稍显不足，那怎么样提高创新性呢？这里我们团队给出的方案是，可以尝试多方法复合创新。

例如多材料拓扑优化的方法也是被提出没多久，放到现在，也还是可以发一些中等偏上层次的文章。但是如果将“多材料拓扑优化”和“多尺度（多孔结构）拓扑优化”相结合的话，那文章可以发的层次肯定就更高。图12，就是我们团队以前做的考虑四种材料的MBB梁拓扑优化的案例；图13，就是我们团队以前做的，考虑纤维化的三材料MBB梁拓扑优化案例；图14，是我们团队以前做的，考虑蒙皮包裹的米歇尔梁拓扑优化案例。

图12

图13

图14

虽然我们团队还没有具体尝试，但是从方法原理上来说，图12到图14的案例，应该都是可以和多尺度（多孔结构）进行结合。大家也可以思考一下，还能怎么进一步提高多尺度（多孔结构）拓扑优化方法的创新性？欢迎评论区留言，一起探讨。

四、结语

截至目前，我们团队围绕 COMSOL，已积累了大量高质量原创案例，覆盖流体力学、传热相变以及拓扑优化等领域，为广大学习者和工程技术人员提供实践参考。

我们团队在B站上已发布了很多关于COMSOL拓扑优化的免费公开课，涵盖流体、固体力学以及传热等方向，欢迎大家观看学习。

免费公开课的内容握后，强烈推荐学习我们团队第16次和第17次PULS系统课程。如图15所示，展示了两套课程的大纲。16次课程涉及COMSOL“变密度模型”关于固体力学、传热以及流体力学等方向更高级的应用；17PLUS次课程则是为需要对COMSOL进行二次开发的同学所打造的基础课程，课程涉及COMSOL和MATLAB之间的数据交互以及COMSOL“变密度模型”的自定义搭建。

欢迎一起学习，共同进步。