2-9转子临界转速+振型：传递矩阵法转子动力学

一句话介绍： 这个程序把轴段、轮盘惯性和支承刚度统一写成 4×4 传递矩阵，通过逐段矩阵相乘建立整个转子系统的传递关系，再扫描角频率寻找满足边界条件的特征频率，最终输出临界转速，并绘制前三阶振型和弯矩分布。

先看它解决什么问题

高速转子在升速过程中，最需要关注的问题之一就是：哪些转速附近容易发生明显共振？

如果转子的旋转频率接近系统某一阶固有频率，轴的振动可能显著增大。工程上通常把这类对应转速称为临界转速。

这份程序做的事情可以概括为：

轴、轮盘、支承参数 → 建立各单元传递矩阵 → 组合成整机传递矩阵 → 扫描频率并检查边界条件 → 得到临界频率/临界转速 → 计算前三阶振型和弯矩

因此它不是简单画一条轴线，而是在完成一个完整的转子临界转速与模态分析。

1. 这个程序真正实现了什么？

压缩包只有一个主程序：transfor_matrix.m。

虽然文件名写成了 transfor_matrix，从代码实际功能看，它实现的是经典的**传递矩阵法（Transfer Matrix Method）转子动力学计算**。

程序主要完成 5 件事：

建立等截面轴、轮盘、材料和支承参数；

把各位置的长度、集中质量、转动惯量和支承刚度写成数组；

对每一个候选角频率构造 15 组传递矩阵，并相乘得到系统总传递矩阵；

根据两端边界条件寻找特征频率，并转换成 rpm 临界转速；

对前三阶频率计算状态向量，绘制振型和弯矩曲线。

2. 程序建立了怎样的转子模型？

源码给出的主要参数如下。

源码注释明确写有“忽略轴的质量”，因此当前模型主要把轮盘质量作为集中质量处理，而轴本身主要贡献弯曲刚度。

根据参数数组可看出，模型中设置了：

13 个非零长度轴段；

8 个带集中质量/转动惯量的轮盘位置；

3 个具有支承刚度 K1 的位置；

共 15 组传递参数。

3. 为什么传递矩阵法适合这种轴系？

对于由很多轴段、轮盘和支承串联组成的转子系统，直接一次性建立很大的整体方程会比较繁琐。

传递矩阵法换了一种思路：

前一个位置的状态 → 经过一个轴段/轮盘/支承 → 得到下一个位置的状态

从代码结构看，状态向量可以理解为由四个量组成：

挠度 → 转角 → 弯矩 → 剪力

每个位置都有一个 4×4 矩阵 T，用来描述这一段前后的状态关系。

如果有很多单元，只要依次相乘：

T₁ → T₂ → T₃ → … → T₁₅

就能得到从转子一端到另一端的整体传递关系 H。

这正是这种方法特别适合细长轴系和串联系统的原因。

4. 单个传递矩阵里考虑了什么？

程序构造的矩阵不是单纯的几何变换，其中同时出现了：

轴段长度 L；

弹性模量 E；

截面惯性矩 I；

剪切相关修正量 v；

集中质量 M；

转动惯量 J；

支承刚度 K；

候选角频率 w。

因此每个矩阵实际上是在描述：

当转子以某一候选振动频率运动时，这个轴段、轮盘和支承会怎样改变挠度、转角、弯矩和剪力。

其中 M·w² 对应集中质量的惯性效应，J·w² 体现轮盘转动惯量的影响，而 K 则把支承刚度加入系统。

5. 程序怎样找到临界转速？

程序让角频率 w 从 0 扫描到 4000 rad/s，每次增加 0.01 rad/s。

对于每一个 w：

构造 15 个传递矩阵 → 相乘得到系统矩阵 H → 计算特征条件 F → 判断是否进入下一阶根的位置

程序使用的特征量为：

(F=H_{31}H_{42}-H_{32}H_{41})

从后续边界计算可以看出，这一条件与两端弯矩、剪力边界能否同时满足有关。

当 F 的符号按程序设定发生交替时，就把当前 w 记录为一个特征频率 wi，再通过：

(n = \omega imes 30/\pi)

换算成 rpm，得到 ni。

因此这里所谓的临界转速，本质上是：

把当前无阻尼转子模型计算得到的固有角频率直接转换成转速。

6. 当前参数下实际算出了哪些临界转速？

按源码参数和 0.01 rad/s 扫描步长复算，在 0～4000 rad/s 范围内共检测到 8 个候选特征频率。

程序最后会直接输出全部 wi 和 ni。

不过绘图部分只使用：

第一阶、第二阶、第三阶

因此图中重点展示的是约 1070 rpm、1528 rpm、3890 rpm 三个低阶临界转速对应的振型。

7. 程序怎样得到前三阶振型？

找到前三个特征频率以后，程序分别重新建立对应频率下的传递矩阵。

左端初始状态写成一个四维状态，其中弯矩和剪力初始值设为 0，而初始挠度先取一个任意非零值。程序再根据系统总矩阵计算初始转角，使另一端的边界条件也得到满足。

之后状态会沿着轴系逐站传递：

左端状态 → 第 1 单元 → 第 2 单元 → … → 最后一个位置

每到一个位置，程序保存：

第一状态量作为振型 y；

第三状态量作为弯矩 z。

最后分别归一化，因此图形主要反映的是：

振型和弯矩沿轴向的相对分布形状，而不是它们的真实绝对幅值。

8. 三张结果图分别看什么？

程序使用 3 个子图显示前三阶结果。

因为 y 和 z 是**分别归一化**的，所以两条曲线适合比较形状和位置关系，不适合直接比较“振型数值和弯矩数值谁更大”。

9. 这种方法理论上有什么优势？

优势一：特别适合串联式轴系

转子通常由轴段、轮盘、联轴器和支承沿轴向依次排列。传递矩阵正好利用这种结构，一个单元一个矩阵，然后逐段相乘即可得到整机关系。

系统增加一个轮盘或一段轴时，不必从头重写完整高阶方程，只需要修改对应单元参数。

优势二：边界条件和特征频率联系直接

程序不是靠观察振幅峰值猜临界转速，而是根据系统传递矩阵和两端边界条件构造特征条件。只有某个频率能让非零振型同时满足边界约束时，它才会成为特征频率。

因此“临界转速”与系统自身的结构、质量和支承参数直接关联。

优势三：质量、转动惯量和支承刚度都能进入同一矩阵链

轮盘质量会改变惯性力，转动惯量会影响转角相关响应，轴的弯曲刚度决定变形能力，支承刚度又会改变边界和内部约束。程序将这些因素放在同一套传递矩阵框架中处理，因此比只用一个简单的单自由度质量—弹簧模型更接近多盘轴系。

优势四：临界转速和振型可以一起得到

仅知道“某处会共振”还不够，工程上还希望知道共振时轴会怎样弯曲。

这个程序在求出特征频率后继续回代状态向量，因此能够同时得到：

临界转速 + 对应振型 + 弯矩分布

这比只给出一个频率数字更有分析价值。

优势五：低阶模态特别直观

前三阶振型被放在同一窗口中，可以直接比较不同阶次下节点位置和弯曲形状的变化，非常适合转子动力学和传递矩阵法的教学演示。

10. 为什么不直接把整个轴系看成一个弹簧—质量块？

单自由度模型可以快速估算一个固有频率，但真实多盘转子沿轴向的质量、惯量和支承位置并不完全相同，而且轴本身存在连续弯曲变形。

如果只用一个等效质量和一个等效刚度，很多沿轴方向的信息会消失，也无法得到多阶振型。

当前传递矩阵方法把不同位置分别建模，因此能够计算多阶特征频率，并看到每一阶沿轴向不同的弯曲模式。

11. 它适合用在哪里？

多盘转子临界转速估算

当一根轴上安装多个轮盘，并由多个支承支撑时，可以利用类似方法评估低阶临界转速，避免工作转速长期落在共振区域附近。

支承刚度影响分析

程序的支承刚度集中在 K 数组中。改变 K1 或不同支承位置的刚度后，可以重新计算临界转速，从而观察支承变软或变硬对系统模态的影响。

轮盘质量和惯量参数研究

改变轮盘直径、厚度、密度等参数会进一步改变集中质量和转动惯量，因此可以用程序研究“盘更重以后临界转速如何变化”。

转子动力学教学

程序把“单元传递矩阵 → 总传递矩阵 → 特征条件 → 临界转速 → 振型”完整串在一起，很适合理解传递矩阵法的实际计算流程。

12. 怎么运行？

这份工程只有一个 .m 文件，使用方式比较直接：

将 transfor_matrix.m 放到 MATLAB 当前目录；

打开并运行该文件；

等待程序扫描 0～4000 rad/s 的候选频率；

命令窗口会输出 wi 和 ni；

图窗会显示前三阶振型和弯矩曲线。

由于搜索步长为 0.01 rad/s，总共要评估约 40 万个频率点，每一个频率又要建立并相乘多组 4×4 矩阵，因此运行速度不会像直接求一个小矩阵特征值那样快。

13. 想做参数实验，主要改哪里？

每次改变结构参数后重新运行，就可以比较临界转速和振型的变化。

14. 源码中需要特别注意的地方

振型和弯矩被分别归一化

程序分别除以各自最大绝对值，所以图中红、蓝两条曲线都落在约 -1～1 范围内。

这有利于比较形状，但意味着图中的弯矩不是实际 N·m 数值。

如果需要真实弯矩大小，不能使用归一化后的 z 直接作为工程弯矩结果。

纵轴标题“不平衡值”与实际绘图内容不一致

代码实际绘制的是：

振型；

弯矩。

因此纵轴写成“不平衡值”容易误导。更合理的标题应是“归一化振型 / 弯矩”或分别设置两个纵轴。

当前模型忽略轴质量

源码已经明确注明“忽略轴的质量”。因此如果轴本身质量不可忽略，当前模型的特征频率会与更完整的分布质量模型存在差异。

没有显式加入阻尼和不平衡激励响应

程序计算的是特征频率和振型，没有建立阻尼矩阵，也没有计算给定不平衡力下的稳态振幅响应。

因此它适合回答：

“临界转速大约在哪里、模态是什么样？”

但不能直接回答：

“经过临界转速时实际振幅会达到多少？”

临界频率采用固定步长扫描

0.01 rad/s 的步长决定了频率定位精度。当前代码没有在检测到根以后继续使用二分法、牛顿法等方式精修，所以结果本质上是离散扫描近似值。

另外，当前判断方式依赖特征量符号按阶次交替。如果出现不改变符号的重根或特殊情况，简单符号判断可能漏掉根。

搜索上限决定能找到多少阶

当前只扫描到 4000 rad/s，因此只会报告这个范围内检测到的特征频率。更高阶模态即使存在，也不会被当前搜索范围发现。

15. 一句话看懂这个项目

这是一个用传递矩阵法分析多盘转子临界转速的 MATLAB 程序：它把轴段、轮盘集中质量、转动惯量和支承刚度逐段写成 4×4 状态传递矩阵，通过系统边界条件扫描出特征频率，再把这些频率转换为临界转速，并进一步计算前三阶归一化振型和弯矩分布。