Mises 应力是怎么来的？从应力偏张量说起

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本文是「Abaqus 与应力、应变」系列的第四篇。前三篇介绍了应力张量、主应力和应力不变量，本文到了最重要的一站——Mises 应力的完整推导，以及它与 Abaqus 输出变量的对应关系。

Mises 应力，几乎是每一位用 Abaqus 做结构分析的工程师最常查看的云图。

但你有没有想过：

• 为什么 Mises 应力能用一个标量来判断金属是否屈服？
• 它和       、       这些应力分量究竟是什么关系？
• Abaqus 里的 MISES 输出量和 Third Invariant 又是什么？

要真正搞清楚这些，就必须先理解应力偏张量。

一、应力的两种"成分"

在弹塑性力学中，物体的变形分为两类：

• 体积变化：三个方向均匀收缩或膨胀，如橡皮球被均匀水压压缩；
• 形状变化（畸变）：形状扭曲，但体积不变，如金属拉伸时截面变细。

实验表明，金属材料几乎不会因为纯体积压缩而屈服，塑性流动主要由形状变化驱动。

因此，力学上将应力张量分解为两部分：

其中，     为 Kronecker delta 符号：

1.1 应力球张量——描述体积变化

平均应力      定义为三个主应力的平均值：

应力球张量      是一个对角元素均为      的矩阵，代表各向均等的静水压力状态——它只引起体积变化，不产生形状扭曲。

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Abaqus 输出的压力 Pressure 与平均应力绝对值相等、符号相反：    。

1.2 应力偏张量——描述形状变化

应力偏张量      是将应力张量减去球张量后的"余量"：

它描述的是纯形状变化的应力效应，与体积变化无关。正是      决定了材料是否发生塑性变形。

二、应力偏张量的三个不变量

与应力张量类似，应力偏张量同样有三个不变量     、    、    ，它们也不随坐标系旋转而改变。

2.1 第一不变量     

   恒等于零——这正是应力偏张量"纯形状、零体积"性质的数学体现。将应力球张量剥离后，剩余部分的三个正应力之和必然为零。

2.2 第二不变量     

    反映了三个主应力之间的差异程度——当三个主应力相差越大，     越大，形状畸变越剧烈。当     （纯静水压力）时，    ，没有形状变化。

2.3 第三不变量     

用主应力表示：

    描述应力状态的"类型"，可区分应变模式：

• ：伸长型应变（如单轴拉伸）
•      ：压缩型应变（如单轴压缩）
•      ：平面应变状态

三、Mises 应力的推导

3.1 从      到 Mises 应力

Von Mises 屈服准则认为：当应力偏张量第二不变量      达到某一临界值时，材料开始屈服。

为了与单轴拉伸试验直接对应，将      转化为具有应力量纲的等效应力：

3.2 物理含义

在单轴拉伸时，    ，    ，代入式 (8)：

Mises 应力恰好等于拉伸应力本身——这正是"等效"二字的含义：无论多复杂的三维应力状态，Mises 应力等于多大，就等价于用那么大的单轴拉应力在拉这个点。

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Mises 屈服判据：当     （材料屈服强度）时，材料进入塑性。

四、Abaqus 输出变量

4.1 Mises 应力 (MISES)

Abaqus 直接输出 Mises 应力，对应 Field Output 中的 Mises 选项，即式 (8) 的计算结果。

这是判断金属结构是否屈服、识别高应力危险区的首选云图。

4.2 第三不变量（Third Invariant）

Abaqus 中的 Third Invariant 输出量      并非直接等于     ，而是经过无量纲化处理的形式：

该量在 Lode 角相关的各向异性屈服准则（如 GTN 模型、延性断裂准则）中有重要应用，可用于区分不同的应力三轴度状态。

4.3      的间接获取

Abaqus 未直接输出     ，但可由 Mises 应力反推：

总结

• 应力张量分解为球张量（体积）和偏张量（形状）两部分；
•       验证偏张量与体积变化无关；
•       是 Mises 应力的直接来源，      ；
• Abaqus 的 MISES 输出即为等效 Von Mises 应力，是判断金属结构塑性风险的核心指标。
  来源：兵哥讲力学