非线性有限元—Green–Lagrange 应变

Green–Lagrange 应变

初始构形中的无穷小线元      经变形梯度      映射为当前构形中的无穷小线元     ：

变形前后线元长度平方之差为

定义右 Cauchy–Green 变形张量

Green–Lagrange 应变张量定义为

系数1/2的引入是为了在小应变情况下，使该定义与工程应变保持一致。

为什么线元长度平方之差能够定义完整的应变？

对单个方向：线元长度平方之差只反映该方向的伸缩；对所有方向：长度平方的变化能够恢复任意两方向的内积变化，同时包含长度和夹角变化，可以用来描述变形。

    以初始构形为参考，描述初始空间方向上的长度和夹角变化

Green–Lagrange 应变与位移梯度

Green–Lagrange 应变可以进一步写为：

其中    为线性项，    为位移梯度二次项。当位移梯度足够小时，忽略二次项，Green–Lagrange 应变退化为小应变张量：

二维小应变张量

这里可以再回顾一下小应变张量的公式，二维位移向量为

位移梯度及其转置为

小应变张量    可表示为：

其中

    为张量剪应变，     为工程剪应变。

刚体转动会使小应变产生虚假应变

现在考虑这样的问题：物体在绕    轴逆时针进行刚体旋转角度    时，Green–Lagrange 应变和小应变    取值多少？

物体绕      轴逆时针转动     ：

位移为

小应变张量    为

当      为有限转角时，    ，小应变公式会将纯刚体转动错误地识别为压缩应变

该运动的变形梯度    详见变形梯度公式

Green–Lagrange 应变为

Green–Lagrange 应变能够正确识别纯刚体转动不产生应变。

1. 刚体转动时，      产生虚假应变，Green–Lagrange 应变中的二次项可抵消虚假应变
2. 当        时，

 

 

该项为二阶小量，小应变理论中可以忽略。有限转动时不能忽略位移梯度二次项