从胡克定律到客观应力率：大变形本构模型的核心逻辑

兵心依旧

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本构模型用于描述材料在外部作用下如何产生应力响应。小变形弹性中，我们常用应力应变形式表示本构关系，即胡克定律：

    

但在大变形、塑性或黏弹性问题中，材料的当前应力不仅取决于当前变形，还取决于加载历史、塑性演化、时间效应以及构型变化，无法用一个简单的“总应变到总应力”关系直接给出。因此，常以应力率和变形率的形式表示本构：

    

图1 小变形弹性与大变形本构关系

这里的应力率我们不能直接采用应力对时间求导，我们需要用到客观应力率的变量。那客观应力率“客观”在哪里？客观应力率有哪些？工程中怎么应用？本文将回答这些问题。

PART 01

   

“客观”在哪？      

   

这里的“客观”，是指本构关系的物理形式和预测结果不依赖观察者所采用的坐标系，也称为标架无关性。

例如，一根沿水平方向受拉的杆件保持拉力不变，只发生整体旋转。旋转前，固定坐标系中主要表现为  ；旋转   后，主要表现为    。虽然应力分量发生了变化，但杆件的真实受力状态并未改变。

在旋转过程中，由于应力分量随时间变化，普通应力导数满足：

    

它会把刚体转动引起的分量变化误认为材料产生了新的应力变化。客观应力率则引入旋转修正，排除刚体转动的影响，使应力率只反映材料真实变形引起的应力变化。

图2 客观应力率示意图

PART 02

   

有哪些？      

   

在介绍客观应力率之前，先回顾速度梯度及其分解：

    

    

其中：

•       为变形率张量，描述材料的拉伸、剪切和体积变化速率；
•       为自旋张量，描述材料在当前时刻的局部旋转速率。

为了剔除“刚体转动”的对应力率的影响，出现了不同的客观应力率（剔除方案），常见的主要有以下几种客观应力率。

   

   

Jaumann应力率，       
 

• 定义：基于自旋张量      进行修正。
• 公式：
          
• 比喻：“跟着当前瞬时漩涡一起转”。它利用材料当前的自旋角速度        
  ，把纯旋转带来的影响扣除掉。
• 特点：商业软件(如Abaqus,ANSYS)中最常用的应力率，因为计算简单，不需要保存历史变形信息。适用于金属塑性等大多数工程场景。最常用于固体力学的客观应力率。大简单剪切下可能出现非物理的应力振荡。

图3 Jaumann应力率示意图

   

   

Green-Naghdi应力率,           

• 定义：基于刚体旋转角速度      进行修正。
• 公式：      
• 比喻：“跟着材料的骨架一起转”。我们知道变形梯度可以拆成纯旋转和纯拉伸           。GN应力率是用极分解出来的那个绝对的旋转矩阵          的变化率          来扣除假象。
• 特点：比Jaumann更符合物理直觉，在大剪切变形下表现更好，没有Jaumann的剪切震荡问题，但计算极分解(R)非常耗时，计算成本高。

 

图4 Green-Naghdi应力率

   

   

Truesdell应力率,          

• 定义：基于速度梯度L。将第二PK应力率推演(Push-forward)到当前空间构型得到的应力率，保证了作功共轭一致性。
• 公式：
          
• 比喻：“用第二PK应力推导出来的应力率”。我们在应力不只是力除以面积：大变形中的应力度量说第二PK应力          本身就是不受旋转影响的张量。Truesdell率本质上就是对第二PK应力求导，然后再强行映射回当前空间。不仅修正旋转，也包含拉伸和体积变化对空间应力表示的影响。
• 特点：理论上最严谨，它是变形率      的完美功共轭搭档，经常用于推导理论公式。常用于超弹性材料的率形式本构，但在金属塑性中不如Jaumann常用。
     

图5  Truesdell应力率

PART 03

   

客观应力率与切线刚度C      

   

在非线性有限元中，率型本构方程的通用形式为：

     

 这里  是四阶材料切线刚度张量（包含了弹性模量、泊松比等参数）。不同客观应力率对应的切线刚度并不是完全独立的；当它们描述同一个本构响应时，可以通过当前应力及运动学量进行转换。

以下均以柯西应力和变形率  为例。

   

   

Truesdell 切线刚度       

• 本构关系：     
• 特点：对于超弹性材料，      可以由参考构型中的材料切线经过推前映射得到。若材料切线来源于应变能函数，通常具有主对称性：

    

    但这只是材料刚度对称，有限元整体刚度矩阵整体对称性还与几何刚度、接触和算法线性化等因素有关。

图6 Truesdell 切线刚度示意图

   

   

Jaumann 切线刚度       

• 转换关系：

    

• 本质：Truesdell 切线刚度上，加上了剪切旋转修正项（括号内部分）和体积修正项（末项）。附加项由当前应力产生，并不是对      或      的修改。
• 特点：由于存在末项     ，当交换下标    和    时，      （除非应力是纯静水压状态）。这意味着Jaumann 刚度矩阵在一般应力状态下是非对称的。

图7 Jaumann 切线刚度示意图

   

   

Green-Naghdi 切线刚度       

• 转换关系：

    

• 特点：Green–Naghdi 与 Truesdell 切线之间的差异，不仅与当前应力有关，还与      有关，而该差异取决于当前变形和极分解伸长状态。通常不存在像 Jaumann–Truesdell 转换那样简单、统一的附加项表达式。在纯刚体旋转或        时，两种应力率基本一致；在大剪切、非共轴变形下，差异会明显增大。    

图8 Green–Naghdi切线刚度示意图

来源：兵哥讲力学