学习记录 | Transfinite 结构化网格划分算法

Transfinite 算法是 Gmsh 结构化网格划分中常用的划分技术，为探究该算法实现过程，本次内容将围绕以下三个方面展开：

1. Gmsh 中的 Transfinite 接口
2. Transfinite 算法原理
3. 自编程实现 VS Gmsh
4. Transfinite 算法局限性 & 应对措施

Gmsh-Transfinite

在使用 Gmsh 进行结构化网格划分时，通常有三种方法：内置算法（Mesh.Algorithm）、Transfinite、extrusion，本节只针对 Transfinite 进行介绍，对另外两种算法感兴趣的读者可学习 Gmsh 官方给出的经典案例。

案例分析

本小节将结合具体案例来介绍如何在 Gmsh 中使用 Transfinite 技术对几何域进行结构化网格划分。

# 获取当前模型中的二维拓扑: [(2, 1)]
surfaces = gmsh.model.getEntities(2)
# 取第一个surface的编号（当前案例仅有一个surface）
surface_tag = surfaces[0][1]
# 获取[(2, surface_tag)]的边界曲线
boundary = gmsh.model.getBoundary([(2, surface_tag)], oriented=False)
# 获取边界曲线的编号
curve_tags = [tag for dim, tag in boundary if dim == 1]

# 为每个边界曲线布种子
gmsh.model.mesh.setTransfiniteCurve(curve_tags[0], N1)
gmsh.model.mesh.setTransfiniteCurve(curve_tags[1], N2)
gmsh.model.mesh.setTransfiniteCurve(curve_tags[2], N1)
gmsh.model.mesh.setTransfiniteCurve(curve_tags[3], N2)

# 对取用的surface使用transfinite算法生成内部点
gmsh.model.mesh.setTransfiniteSurface(surface_tag)
# 将生成的三角形单元合并为四边形单元
gmsh.model.mesh.setRecombine(2, surface_tag)
# 网格生成
gmsh.model.mesh.generate(2)

整个过程如上述代码所述，每行都有注释辅助理解，需要注意的细节有如下几点：

1. Transfinite 的适用拓扑区域：1个 Surface+4 个 Curve ，尽可能是凸包区域
2. setTransfiniteCurve 在边上布种时，要注意对边的种子数要一致，不然会发出警告：Surface %d cannot be meshed using the transfinite algorithm, non-matching number of nodes on opposite sides，Gmsh 不再采用Transfinite，改采用更为通用的 Front-Delaunay 算法

setTransfiniteCurve 接口

gmsh.model.mesh.setTransfiniteCurve(tag, numNodes, meshType="Progression", coef=1.)

1. tag：curve tag
2. numNodes：curve 上的总节点数（包括两端点）
3. meshType：节点分布形式，类似于 Abaqus 的 Bias 设置
1. coef > 1：两端疏，中间密
2. 0 < coef < 1：两端密，中间疏
3. coef > 1：尺寸变大，如：coef = 2，表示相邻边段按 2 倍递增
4. 0 < coef < 1：尺寸变小
5. 反方向的话，tag 取加负号
6. "Progression"：沿着 curve 方向上的尺寸变化
7. Bump：

setTransfiniteSurface 接口

gmsh.model.mesh.setTransfiniteSurface(tag, arrangement="Left", cornerTags=[])

1. tag：surface tag
2. arrangement：当 surface 未被 setRecombine 时三角形单元的排列方式，可选参数有： "Left", "Right", "AlternateLeft" and "AlternateRight"，对于目前的结构化网格划分，可以不用考虑这个参数

1. cornerTags：明确指定（3个或4个）角点进行 Transfinite 插值
1. 若曲面边界上点数(Point)超过 3 或 4 个，则必须显式指定角点
2. 若曲面边界上点数(Point)为 3 个或 4 个，Gmsh 会自动识别角点

参考官方 t6.py 教程：

gmsh.model.mesh.setTransfiniteSurface(
    surface_tag,
    cornerTags=[
        point_tags["p1"],
        point_tags["p2"],
        point_tags["p3"],
        point_tags["p4"],
    ],
)

对于角点的作用，将会在下节的 Tranfinite 算法原理中详细介绍。

Transfinite 算法原理

Transfinite 算法的核心就是 Coons Patch。所谓 Coons Patch，在计算图形学领域中，是一种由边界曲线构造内部曲面的插值方法。对于一个四边形参数区域，如果已知四条边界曲线，那么 Coons Patch 可以基于边界曲线和角点信息，通过双线性混合修正构造内部规则节点分布。

 

边界曲线的线性插值

这里考虑一个四边形参数区域：    ，设四个角点分别为：

四条边界曲线分别记为：

其中，按照上述方向，有：

内部点      可以先由两组边界曲线插值得到。第一组是左右边界      和      之间的线性插值：

它表示在给定      的情况下，从左边界      向右边界      插值。

第二组是下上边界      和      之间的线性插值：

它表示在给定      的情况下，从下边界      向上边界      插值。

如果只把这两部分相加，则有：

但是这样会产生一个问题：四个角点被重复计算了一次。因此还需要进行角点修正（ corner-correction）。

角点修正项由四个角点      的双线性插值给出：

展开后得到：

因此，Coons Patch 的完整表达式为：

为什么需要 corner-correction？

例如在左下角：

左右边界插值项为：

上下边界插值项为：

如果没有角点修正，则：

这显然不正确。因此需要减去角点修正项。对于     ，角点修正项为     ：

所以：

因此，corner-correction 的作用就是去掉四个角点被重复计算的部分，使得 Coons Patch 在边界和角点处都能严格满足原始边界条件。

角点修正项与四节点四边形单元 Q4 的双线性插值形式一致，这是为什么？

令：    ，其中：    

则有：

因此可以得到 Q 4 单元的四个形函数：

这说明 Coons Patch 中的 corner-correction 本质上就是由四个角点决定的双线性插值平面。

参考 OCC 对曲面连续性的理解：

Transfinite 插值算法实现

需要注意的是，Transfinite 插值中的参数域      只是用于描述节点在参数域中的相对位置，并不是最终的物理坐标。在有限元网格生成中，节点最终必须落在真实几何体的曲线或曲面上。因此，在 OPFEM 的实际应用中，应以几何模型为基础，通过几何边界曲线确定边界节点，再利用 Transfinite 插值计算几何表面上的内部节点，从而保证生成的网格能够准确贴合原始几何。

在解决这个问题时，会遇到三个坐标系：coons_patch 坐标系、几何表面的参数坐标系、整体坐标系，对于几何表面的参数坐标系，将会在以后的文章中进行介绍。计算流程：

在实际编程时，coons_patch 算法按照公式写就行，比较繁杂的就是准备好 s 和 c，在 Gmsh 中，给定一个四边形区域，程序内部会自动的挑好 s 和 c，在自编程实现的时候，需要理解 OCC 的拓扑结构，根据 Edge 来准备 s 和 c。

数值案例

案例一

使用空间贝塞尔曲线构造四边形几何区域，拾取几何的拓扑边，将点内插到几何的参数域中，然后映射到整体坐标系下：

图中绿色曲面为原始的几何面，红色的点为自编程 coons_patch 算法计算得到的点，蓝色的点为 Gmsh 的 setTransfiniteSurface 计算得到的点，两者结果一致。

实际 Gmsh 的处理思路也是先将点插在曲面的参数域中，参见官方文档在 t6: Transfinite meshes, deleting entities 中的程序注释：

The ‘Transfinite Surface’ meshing constraint uses a transfinite interpolation algorithm in the parametric plane of the surface to connect the nodes on the boundary using a structured grid.

案例二

现在来测试强凹边界区域：

在 Gmsh 和自编程的 coons_patch 计算结果一致，且都会在强凹区域附近出现内部节点分布到几何区域外部的现象，说明该问题并不是程序实现错误，而是 Transfinite / Coons Patch 插值方法本身的局限性。

Transfinite Surface 的核心是通过四条边界曲线进行插值，其内部点由边界曲线的线性混合和角点修正共同决定，该公式本质上只是根据四条边界曲线构造一个参数映射，并没有额外判断插值得到的内部点是否仍然位于原始几何区域内部。对于凸四边形或形状较规则的四边形区域，这种边界插值通常能够得到合理的结构化网格；但对于强凹区域，边界之间的线性混合可能会跨过凹陷边界，从而使部分内部节点落到几何区域外部。

因此，强凹区域中出现节点外溢，说明该区域不适合直接作为一个单独的 Transfinite Surface 进行结构化划分。在实际应用中很多情况下，遇到的几何区域，都不是那么规则的，如果这时想用 Transfinite 进行结构化网格划分，就要对原始的几何域进行分块，这也是 OPFEM - Mesh 模块以后的发展点。

对分块感兴趣的，可以搜索相关论文，比如我推荐一篇：《Enhanced block-structured quadrilateral mesh generation: integrating cross-field and distance field for optimal domain decomposition》，以下的效果图均出自该篇文献：

知识来源

1. Gmsh 官方文档：https://gmsh.info/doc/texinfo/gmsh.html
2. Huang, Wei, et al. "OPFEM: architectural design and implementation of a CAE software for finite element modeling and simulation." Acta Mechanica Sinica 42.2 (2026): 425450.
3. Coons, Steven A. (June 1967). Surfaces for Computer-Aided Design of Space Forms, MAC-TR-41. Cambridge, MA: MIT/LCS. Retrieved 2 June 2024.
4. 维基 百科 (Coons patch) https://en.wikiped ia.org/wiki/Coons_patch
5. Lv, Yuanxing, et al. "Enhanced block-structured quadrilateral mesh generation: integrating cross-field and distance field for optimal domain decomposition." Engineering with Computers 41.2 (2025): 1293-1308.

注：以上是木木对 Transfinite 结构化网格算法的一点粗浅理解。由于个人在数值计算和几何拓扑方面的积累尚浅，文中难免有疏漏或表述不当之处。特此抛砖引玉，诚邀各位同行批评指正，如有谬误，还望不吝赐教。