164、一文讲透k-ω湍流模型的底层逻辑：它和k-ε到底有什么本质不同？

上篇文章我们详细讲解了k-ε湍流模型，从NS方程到雷诺平均NS方程，再到涡粘性假设，最后介绍了Fluent中的三种k-ε模型，并讲解了其参数设置。

今天我们履行之前的承诺，继续湍流模型系列，来聊聊目前工程应用最为广泛的k-ω模型。

 

需要提前说明，本文为了能够让大家理解k-ω模型的改进过程，尽可能让内容通俗易懂一些。很多公式确实也没必要逐项的分析，感性的理解才能够让我们理解的更加深入，甚至让这种理解融入生活中。

全文6000多字，应该算是最详细易懂的讲解k-ω湍流模型的底层逻辑、与k-ε模型本质区别的文章了，希望大家多多+支持一下

在讲k-ε模型时我们说过，标准k-ε模型计算稳定、收敛性好，有大量实验验证，对平板边界层、管流、射流可接受，几乎是所有CFD软件的首选RANS模型。

但k-ε模型有一个绕不开的短板：近壁面表现不佳。所以对于k-e模型，需要壁面函数来处理粘性底层和对数律区的过渡，这一点可以看我们之前的文章：一文说清楚Fluent壁面函数(Y+)和近壁面处理

但即使使用壁面函数，一旦遇到强压力梯度、流动分离或大曲率流动，其精度就会大幅下降。那有没有一种模型，可以不依赖壁面函数，直接积分到壁面？

答案是有的，就是k-ω模型。

k-ω模型由Wilcox在1988年提出，它同样采用Boussinesq涡粘性假设来封闭RANS方程，但和k-ε模型的关键区别在于：k-ε模型用耗散率ε来刻画湍流的尺度，而k-ω模型用的是比耗散率ω英文表达就是specific dissipation rate

ω的物理含义是单位湍动能的耗散速率，量纲是1/s，可以理解为“大涡的破碎频率”。湍流越强、涡的尺度越小，ω就越大。

有了ω之后，湍流粘度μt的表达变成了：

这个公式比k-ε模型的更加直接，最重要的是不需要额外的经验常数Cμ来调节。

我们对比上面的两个公式，会发现ω可以用ε表示

ε是湍流耗散率，而ω是湍流耗散率和湍动能的比值，所以我们称其为比耗散率

接下来最关键的问题是：k和ω怎么求？

下面我们重点分析标准的k-ω模型，说明一下右边常数系数的由来。其他的模型如SST模型与其类似，简略说明即可

和k-ε模型一样，k-ω模型通过求解两个输运方程来确定k和ω：

k方程（湍动能）：

ω方程（比耗散率）：

在这些方程中，Gk表示由平均速度梯度引起的湍动能的产生。 Gω表示ω的产生。Γk和Γω分别表示k和ω的有效扩散系数。 Yk和Yω表示由湍流引起的k和ω的耗散。Sk和Sω是用户定义的源项。Gb和Gωb考虑了浮力项。

我们和标准的k-e模型对比，湍动能k及其耗散率ε由下列输运方程给出

k-ω模型和k-e模型的输运方式形式上（瞬态项、对流项、扩散项）基本相同，最重要的区别就是方程右边最后几项，下面我们就来详细分析这几项。

2.1有效扩散系数Γk和Γω

这一项在UDS方程中也会出现，而且是经常容易出错的地方。k-ω模型的有效扩散系数由下式给出：

上面这个公式也是UDS方程中扩散系数的公式。其中σ‌k和σ‌ω分别是k和ω的湍流普朗特数。湍流粘度μt由k和ω组合计算得出，如下所示：

2.2低雷诺数修正Low-Re Corrections

前面我们说过标准k-ω模型可以不依赖壁面函数直接求解，但它在壁面附近仍然存在局限。

标准k-ω模型本质上是为高雷诺数湍流设计的，在紧贴壁面的粘性底层，流动处于低雷诺数状态，湍流受到壁面的强烈阻尼，湍流粘度急剧减小。标准k-ω模型无法准确捕捉这种“壁面阻尼效应”，可能会导致预测的湍流粘度过高。

低雷诺数修正就是为了解决这个问题。它通过在模型方程中引入阻尼函数对湍流粘度进行修正。

上面的湍流粘度的公式中有系数α*，就是用于抑制湍流粘度，从而对低雷诺数进行修正。其表达式为：

其中，

当雷诺数较低时，也就是Ret较小时，α*的数值较小，可以抑制湍流粘度的数值；而当雷诺数较大时，括号中的数值接近1，因此α*=1，也就是对高雷诺数不进行修正。这就是低雷诺数修正的原理。

上述公式中的几个参数与标准k-ω模型勾选低雷诺数修正的界面对应

2.3Gk和Gω-湍动能和ω的产生

Gk表示湍动能k的产生，其定于与k-e模型类似，限于篇幅，这里不再详细说明，我们重点说一下Gω也就是比耗散率的产生

其中的α表示系数，由下面的公式给出

其中 Rω= 2.95，α∞=0.52，α0=0.1111，α*和 Ret也就低雷诺修正里面的公式。

可以看到，这个公式和低雷诺修正公式形式相同，说明其对低雷诺也进行了修正，只不过修正的不是湍流粘度，而是比耗散率的产生。

下面我们还是将公式参数和Fluent界面参数对应起来

通过前面的学习，我们目前有个初步的认识，k-ω模型中的很多参数都是用来对低雷诺数进行修正的，而边界层区域的雷诺数通常是较低的，这可以浅显的说明为什么k-ω模型在边界层也能比较好的求解。

2.4Yk和Yω-k和ω的耗散

前面我们分析了k和ω的产生项，下面来说一下耗散项。

k的耗散由下式给出

我们重点还是分析系数β*

β*类似k-e模型中的Cμ，是对湍动能耗散的修正。修正什么内容？两部分的内容，一部分是低雷诺数修正，主要依靠β*i这个参数。另一部分是可压缩修正，也就上面公式的括号部分

其中Mt是湍流马赫数。当流速很高时，湍流会产生压力脉动和激波，导致额外的能量耗散。修正项会随着Mt的增大而增大从而增强耗散，正确反映可压缩效应对湍流的抑制作用。

β*i反映的还是低雷诺数修正，其中的Rβ=8，β*∞=0.09

高雷诺数区域模型退化为标准的高雷诺数形式，β*i=β*∞=0.09。而在低雷诺数区域β*i≈0.024。

将公式参数和Fluent界面参数对应起来

ω的耗散与k类似，由下式给出

其中的β*i和k相同，这里就不做进行赘述。从公式形式上，可以看出，ω的耗散也对可压缩流和低雷诺数进行了修正

2.5标准k-ω模型常数

下面我们将模型常数进行总结，并和Fluent界面对应起来

上面我们介绍了标准k-ω模型，然而，标准k-ω模型有一个致命缺陷，对自由来流的湍流条件过于敏感。

什么意思呢？在入口边界或远场边界，我们需要给定k和ω的来流值。如果这些值给得不准确，哪怕只是稍微偏大或偏小，计算结果可能会出现显著偏差。这个敏感性严重限制了标准k-ω模型的应用范围。

那怎么办？能不能把k-ω的近壁面优势和k-ε的远场稳健性结合起来？BSL k-ω 模型就是这样做的。

标准k-ω模型和变换后的k-ε模型均乘以一个混合函数，然后将这两个模型相加，共同作用。在近壁面区域激活k-ω模型，在远离壁面的主流区域切换为k-ε模型

BSL k-ω 模型是SST k-ω 模型的基础，为了能够说清楚SST k-ω 模型，我们必须介绍BSL k-ω 模型，尽管其工程应用远少于SST k-ω 模型

BSL k-ω模型的输运方程与标准k-ω模型相似，这里不再赘述，我们重点说一下BSL k-ω模型的改进，尤其是混合函数F1

3.1混合函数F1

BSL模型的有效扩散系数形式和标准模型一致，但

但标准模型的σk和σω是常数，都为2.0。而BSL模型σk和σω不再是常数，其表达式如下：

关键就是混合函数F1

这个公式看起来很复杂，我们直接理解其含义即可。

公式中的y表示到壁面的距离，这个参数直接影响F1的数值。

当靠近壁面时，即y很小时，Φ1中max的公式y都在分母上，导致max中都是趋于∞的，因此Φ1趋于无穷大，所以F1=1；

同理，远离壁面时，y很大，y的平方使整个分式的分子迅速被拉低，且当CDkω足够大时，该项也被min函数压制。最终整个括号内的值趋于0，从而实现F1=0。

这样做的目的是什么？就是为了能够平滑的修改σk和σω的数值，让近壁面处用k-ω的参数，而在主流区用k-e模型的参数。

根据上面的公式可得到，近壁面处σk=σk1=2.0，σω=σω1=2.0；主流区σk=σk2=1.0，σω=σω2=1.168；

其中的σk1=2.0，σω1=2.0，也就是k-ω的参数；σk2=1.0，σω2=1.168更接近k-e模型的参数

3.2标准k-ω模型与k-ε模型的耦合

前面我们说了BSL模型就是将k-ω模型与k-ε模型的耦合，如何耦合呢？

BSL模型的ω输运方程中多了一项交叉扩散项Dω，加上这一项可以将这两个模型融合在一起，将标准k-e模型被转换为基于k和ω的方程。

当在近壁面处，F1=1，Dω=0，输运方程恢复到k-ω方程；

当主流区，F1=0，Dω不等于0，就是计算变形的k-e模型。

再加上3.1叙述的扩散系数的不同，这样就可以实现近壁面和主流区模型的不同

3.3 ω的耗散项

除了上面的改变之外，ω的耗散项的也发生了改变。根据2.4节，标准的模型Yω可表示为

而对于BLS模型

对比可以看到，标准的模型参数的变化用fβ来表达，而BLS模型没有fβ，其关键的参数变化用β表示，其中β的表达式和标准模型相同，但βi表达式有所不同。

这个公式很容易理解，近壁面处F1=1，βi=βi1；主流区F1=0，βi=βi2；其中βi1=0.075；βi2=0.0828

可以看到，使用混合函数F1的主要目的就是用来定义近壁面和主流区的参数，从而自动选择k-ω和k-e模型

将上面的参数与Fluent界面对应起来

4.1剪应力限制器

最后我们再来说剪切应力 (SST) k-ω 模型，前面的BLS模型已经可以兼顾近壁面和主流区了，SST 模型包含了BSL模型的所有改进，并进一步湍流剪切应力，这使得其对逆压梯度流动、翼型流动、跨音速激波等更加准确。

由于BLS模型基于涡粘性假设，其无法 正确预测强逆压梯度下的流动分离。会过度预测湍流粘度μt，导致边界层内的流体动量被过度“掺混”，从而延迟了流动分离的预测

为了解决这个问题，Menter引入了剪应力限制器，将μt的表达式修改为：

在附着边界层（ω较大），涡的破碎频率高。公式退化为标准k−ω模型，不做限制。

在逆压梯度/分离区（ω被压制变小），公式变为：μt=a1ρk。也就是说，湍流粘度被强制限制为μt≤a1ρk，不再受ω继续降低的影响。

这个修正之所以被称为“剪应力输运”（SST中的ST，Shear Stress Transport），是因为它确保了湍流剪切应力不会随着ω的衰减而无限制地膨胀。

由于SST模型继承BLS模型，其常数参数与BLS模型相同，但数值上有所变化。

这些常数经过了大量的工程检验，一般不需要修改。或者说，如果你想修改这些参数，那你就要给出能够说服别人的理由。

4.2 SST模型为什么成为工业标准？

SST k-ω模型自提出以来，迅速成为工业界和学术界应用最广泛的湍流模型之一。

原因主要有以下几点：

• 第一，近壁面精度高。 继承了k-ω模型直接积分到壁面的能力，对边界层和分离流的预测更准确。

• 第二，远场稳健性好。 通过混合函数切换到k-ε模式，摆脱了标准k-ω对来流条件的敏感性问题。

• 第三，分离预测能力强。 剪应力限制器防止了湍流粘度过估，对逆压梯度下的流动分离预测更加准确。

• 第四，适用范围广。 从不可压缩流动到亚音速、跨音速流动，SST模型都有出色表现。

正因如此，SST k-ω目前已成为涡轮机械、航空航天、汽车空气动力学等领域的首选湍流模型。在Fluent的中，SST k-ω是默认的湍流模型。

4.3 SST模型的局限

当然，SST模型并非万能。它仍然基于Boussinesq的各向同性涡粘假设，因此在强旋转流动、大曲率流动等各向异性显著的场景中，精度仍然有限。

此外，SST模型的计算成本比标准k-ω略高，因为需要额外计算混合函数和剪应力限制器。

除了标准模型、BLS模型和SST模型，Fluent中还提供了广义 k-ω (GEKO) 模型和WJ-BSL-EARSM模型，这两个模型应用相对不够广泛，本文不再说明

5.1Low-Re Corrections低雷诺数修正

无论标准模型、BLS模型还是SST模型，Options都有Low-Re Corrections也就是低雷诺数修正，就是2.2节的内容

当雷诺数较低时，也就是Ret较小时，α*的数值较小，可以抑制湍流粘度的数值；而当雷诺数较大时，括号中的数值接近1，因此α*=1，也就是对高雷诺数不进行修正。

5.2Shear Flow Corrections剪切流修正

标准模型还有Shear Flow Corrections选项，专门用来提高自由剪切流（比如射流、尾流、混合层）计算精度的。

标准k−ω模型算自由射流时，会把射流扩散角算得偏大。这个修正就是为了让射流扩张速度更准。Fluent中默认这个选项是勾选的。

这个选项理论公式对应的就是k的耗散项中的f*β和ω耗散项中的fβ

f*β和fβ有各自的计算公式，如果关闭Shear Flow Corrections，Fluent强行把f*β和fβ设为1，相当于关闭了修正。此时模型退化成最原始、最简单的k−ω高雷诺数形式，自由剪切流的精度会明显变差。

5.3Near-Wall Treatment近壁面处理

前面我们说过k-ω模型不需要壁面函数，其对y+不敏感，这是因为模型会根据是否靠近壁面自动修改公式。

但与k-ε模型不同，在k-ω模型中，壁面剪切应力（即壁面摩擦力）直接由壁面处的ω值控制。ω给得准不准，直接决定了壁面阻力和边界层预测的精度。

Fluent提供的两种ω壁值指定方法

方案一：correlation（默认）

原理：Fluent根据网格的y+值，在粘性底层的解析表达式和对数律区的解析表达式之间自动平滑插值。它在绝大多数工况下表现稳健，不用操心。

方案二：tabulated（查表法）

原理：Fluent内部预制了一个“ω壁值查找表”，直接根据流动参数查表得到壁面ω值。

两者本质区别：correlation是“公式算”，tabulated是“查表取”。前者更通用，后者在特定校准条件下误差更小。

前面我们把k-ω模型的方程、修正、近壁面行为都讲了一遍。现在可以回过头来回答一个更根本的问题：k-ω和k-ε，本质上差在哪？真正的本质区别，要从两个模型在壁面附近的行为说起。

6.1数学公式差异-用法差异

k-ε模型用ε作为第二变量。ε在壁面附近趋于一个有限非零值，但其方程的源项在壁面处存在奇异性，某些项会趋于无穷。这意味着k-ε方程不能直接积分到壁面，必须借助壁面函数绕过粘性底层。

k-ω模型用ω（比耗散率）作为第二变量。ω在壁面处趋于无穷大，但方程本身的数学结构是良好的、不发散的。因此k-ω方程可以直接积分到壁面，不需要壁面函数。

   

这个差异带来了一系列连锁反应：k-ε对壁面网格y+有严格要求（通常30~300，太密反而出问题），而k-ω对网格的适应性灵活得多，网格加密后能自动平滑过渡到低雷诺数求解。

另外，k-ε的壁面剪切应力通过壁面函数间接得到，而k-ω的壁面剪切应力直接由壁面ω值控制，ω给得准不准，直接决定了壁面摩擦力的计算精度。

还有一个关键差异：自由来流敏感性。k-ε对来流中给定的ε值不敏感，给1和给10结果差异不大；而k-ω对来流ω值非常敏感，给不准结果会显著偏离。

这个缺陷直接催生了SST模型，通过混合函数在近壁用k-ω、在远场切换到k-ε的行为。

6.2 工程差异-各适用什么工况？

基于上述差异，两个模型在工程中的适用性有所不同

k-ε模型擅长：自由剪切流（射流、尾流、混合层）、充分发展的管流、弱压力梯度的流动。典型应用包括管道内部流动、通风系统、换热器等。它的优点是计算稳健、收敛快、对来流条件不敏感，缺点是在逆压梯度和分离流中精度不足。

k-ω模型擅长：边界层流动、逆压梯度流动、流动分离。典型应用包括翼型绕流、航空航天外流、涡轮机械、汽车空气动力学等。它的优点是近壁面精度高、不依赖壁面函数，缺点是标准版本对来流湍流条件敏感（SST版本已解决）。

   

如果拿不准选哪个，SST k-ω通常是最保险的选择，它在近壁继承k-ω的直接积分能力，在远场通过混合函数切换到k-ε的稳健行为。

全文6000多字，感觉这个系列越写越多，涉及到的公式也更为复杂。即便如此，后续我们还是继续进行湍流模型系列，尽量把这个系列讲完