从线性弹性到大变形：应变和应变率为什么变复杂了？

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在线性弹性力学中，我们常把应变理解为位移的导数，把应变率理解为应变对时间的导数。但在非线性有限元中，出现了格林应变、变形率、转动率和角速度等相似、容易混淆的张量。

为什么要把问题复杂化？因为大变形分析必须严格区分材料点“从哪里来”（初始构型）和“现在在哪里”（当前构型）。每个张量都有其专属的参考系，使用时绝不能跨构型错配（例如当前构型的变形率就不能直接用于初始构型）。当然，它们之间并非毫无瓜葛，而是能通过特定的数学法则（如推前与拉回）相互转换。

本文就从构型出发，梳理非线性有限元中这些应变与应变率张量的定义、关系和区别。

PART 01

格林应变

定义

定义在初始构型上的应变度量。总变形中完全剥离了“纯刚体旋转”成分，物体真正发生的变形程度。

公式：

变形梯度形式：
位移梯度形式：
换算公式：

原理解析

物理痛点：刚体旋转不产生应变。例如：一块在空中翻转的海绵，内部间距不变，无真实变形。但变形梯度（可阅读往期文章连续介质力学太难？一文搞懂非线性有限元的核心灵魂：变形梯度 F）同时包含了刚体旋转（）和真实拉伸/剪切（）。若直接用计算变形，纯旋转会被误认为应变，导致严重的计算错误。
解决方法：用转置抵消旋转。为了剔除纯旋转，引入了右柯西-格林变形张量。由于旋转矩阵具有正交性（），这种“转置乘自身”的巧妙操作，让纯旋转成分去除，纯粹保留了材料微元长度与夹角的变化信息。
构造公式：得出格林应变。为了符合“未变形时应变为零”的工程直觉，将减去单位矩阵并除以2，便得到了格林应变。
向下兼容：在微小变形假设下（极小），格林应变可退化为经典小应变张量：

图1 格林应变示意图

PART 02

变形率和转动率

定义

在当前构型上的瞬时速率量，用来描述材料点“此时此刻”正在怎样运动。

其中，表示材料局部正在以多快的速度发生拉伸、压缩和剪切；表示局部材料邻域在当前空间中的旋转趋势。

公式

空间速度梯度：
变形率张量（对称部分）：
转动率张量（反对称部分）：
分解关系：

原理解析

物理背景：从“累积结果”到“瞬时速率”。前面提到的格林应变描述的是变形的“累积结果”。但在冲击、爆炸等显式动力学计算或流体力学中，我们更关心的是“这一瞬间变形有多快”。因此需要引入速度场，并通过空间速度梯度来描述当前空间中相邻两点速度的差异。
数学拆解：用张量性质实现物理剥离。类似于变形梯度混杂了拉伸与旋转，速度梯度同样混杂了变形率和旋转率。在张量分析中，任何一个方阵都可以拆成“对称”和“反对称”两部分。我们对进行纯数学拆解（），就可以实现了物理意义上的解耦。
比喻：十字架模型。 假设在流动的面团（材料）里放一个微小的十字架。

（变形率张量，对称）：衡量真实变形速率。即十字架两臂变长/变短的速度（拉伸率），以及它们之间夹角改变的速度（剪切率）。

（转动率张量，反对称）：衡量纯旋转趋势。即这个十字架作为一个整体，此时此刻原地打转的角速度。

图2 变形率与转动率示意图

PART 03

变形率与格林应变率的前推后拉

定义

变形率张量描述“现在发生的拉伸速率”，而格林应变率描述的是“相对于过去算出的应变率”。两者虽然采用不同的参考基准（当前构型 vs 初始构型），但描述的是完全相同的物理事实，并通过变形梯度进行转换。

公式

格林应变率定义：
后拉公式：
前推公式：

原理解析

差异：格林应变率   和变形率   虽然描述的都是变形的速率，但两者意义完全不一样。
  （常用于完全拉格朗日公式）：位于初始构型中，描述的是：“相对于最初那个短小的尺寸，现在的变形速度有多快？”

  （常用于更新拉格朗日公式）：位于当前构型中，描述的是：“相对于此时此刻已经被拉长的尺寸，现在的变形速度有多快？”
比喻：通货膨胀率的计算。就像是以1990年的物价（初始基准）来计算今天的通胀率；而是以 2026年的物价（当前基准）来计算今天的通胀率。前推后拉的操作，就是用（这些年的总物价指数/总汇率）把这两个通胀率进行的等价转换。

图3 变形率与格林应变率的前推和后拉

PART 04

角速度张量与转动率张量

定义

描述物体在连续变形过程中的两种不同维度的“旋转速度”。纯粹地度量物体刚体骨架（主方向）的真实旋转速率；而度量的是当前空间中，局部材料微元的综合旋转（涡量）趋势。

公式

角速度张量（纯旋转率）：

注：基于极分解，只对其中的刚体旋转矩阵求导求率。

转动率张量（局部涡量）：
两者的换算关系：

注：对纯刚体旋转或者发生完全均匀的膨胀/收缩（与可交换，后半项抵消为零）时：

原理解析

差异
（剥离拉伸）：它只关心材料的主轴（骨架）到底转了多快，完全排除了任何拉伸带来的干扰。
（混杂拉伸）：它关注局部微元的综合表现。由于材料各个方向拉伸速度不同（剪切变形），材料纤维会发生“被动偏转”。因此实际上包含了 “纯骨架旋转” + “由于不均匀拉伸导致的额外偏转”。

比喻：想象你正在一边旋转整个面团，一边用力往两边拉扯它（剪切拉伸）。面团里的一颗葡萄干不仅跟着面团公转（），还会因为周围面团的挤压而发生额外的自转。这颗葡萄干总的转动（公转+自转）速率就是。

图4 角速度张量与转动率张量

PART 05

总结

看到应变、应变率相关公式时，需明确三个要素：

参考构型：该物理量定义于初始构型（物质描述）还是当前构型（空间描述）？
共轭匹配：该量与何种应力张量满足功的共轭（Work-conjugate）关系
转动度量：公式中的转动修正项，是源于速度梯度的自旋张量（），还是基于变形梯度极分解的旋转率张量（）？

梳理清楚上述要素，即可准确辨析有限元方法中不同的张量体系：

完全拉格朗日格式:该格式以初始构型为参考。系统采用格林应变衡量变形程度，以作为应变率。基于能量守恒与共轭配对原则，与之匹配的应力度量必须为PK2应力。
更新的拉格朗日格式：该格式以当前构型为参考。系统通过时间积分变形率张量来更新应变，与之共轭配对的为 Cauchy 应力（真实应力）。
客观应力率：编写UMAT/VUMAT材料子程序时的关键。为消除大变形中刚体旋转对应力更新的干扰，材料本构积分必须引入“客观应力率”进行修正： Jaumann率：采用速度梯度分解出的自旋张量进行修正；
Green-Naghdi率：采用极分解得到的真实旋转率张量进行修正。

图5 应变及应变率度量核心要素

来源：兵哥讲力学

显式动力学非线性 UG UM 爆炸材料

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首次发布时间：2026-07-09

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