163、一文讲透k-ε湍流模型的底层逻辑与设置依据

文章101我们详细说明了如何从NS方程过渡到雷诺平均NS方程的，并介绍了一方程SA模型。由于之前的文章比较久远了，有必要重新说明NS方程的求解方法

1.1从NS方程到雷诺平均NS方程

湍流的本质是随机、杂乱、多尺度的。在湍流中，任意物理量的瞬时值看起来像一条剧烈抖动的曲线。

因此直接求解原始NS方程即直接数值模拟 DNS要求网格细到能抓住最小的湍流涡。因此对于网格尺寸和时间步长的要求都非常高。

在一个 0.1m×0.1m 的高雷诺数区域里，需要的网格量可以达到 10亿到1000亿，时间步长要小于100微秒。这远远超出了普通工程计算的能力。

为了解决这个计算上的问题，雷诺发现，湍流中瞬时物理量的曲线其实可以分解成两部分：平均值和脉动值

因为上下波动相互抵消，我们对脉动值求平均，结果永远是零。这一简单的性质，正是雷诺平均方法的数学基础。

原始的NS方程描述的是瞬时流动。把速度、压力都用“平均值 + 脉动值”代入，然后对整个方程做平均，就得到了雷诺平均 NS 方程，也就是 RANS。

与原始的NS方程对比，可以看到RANS比原始NS方程还多了一项--雷诺应力项。也就是说，RANS方程实际上是更加复杂的，那我们绕那么大的弯子转换方程的目的是什么？

我们转换方程并不是为了让方程形式上更简单，更好看，而是为了让方程更加容易求解。尽管NS方程形式上更加简单，但是其物理量全是瞬态量，每时每刻都在变化，这对求解精度的要求很高。

而RANS方程中的未知量是平均值，平均值在时间和空间上变化平缓，不需要捕捉微小的脉动。其对计算精度要求要低很多，我们可以使用较粗的网格和较大的时间步长去计算RANS方程

同时，绝大多数工程问题关心的正是平均流场（比如管道平均速度、机翼平均升力）。所以 RANS 在满足工程精度的前提下，大幅降低了计算成本。

1.2 RANS方程封闭性问题

好，我们决定用 RANS。但是把 RANS 方程写出来之后才发现：方程个数比未知量个数少。

原始NS方程：4 个方程（质量+三个方向动量），4 个未知量（u、v、w、p），方程是封闭的，理论上可解。

RANS 方程：多出了雷诺应力项

这一项引入了 6 个新的未知量（因为i、j各取三个方向，对称所以是 6 个）。

方程数量没变，未知量却变多了 ，不封闭，没法直接求解。所以，我们必须要做一件事：把雷诺应力用已知的平均量表示出来。

用什么方法表示？这就引出了“湍流模型”——湍流模型的核心任务就是封闭 RANS方程。

1.3涡粘性假设

1877 年，Boussinesq 提出了一个天才的想法：

在层流里，粘性应力τ

τ 和速度梯度（应变率）成正比，比例系数就是分子粘度μ

Boussinesq 假设：湍流里的雷诺应力，也可以和平均速度梯度成正比，只不过比例系数变成了"湍流粘度"μt

公式长这样：

其中k就是湍动能，δij是单位张量。

这个假设最大的贡献是：把 6 个雷诺应力未知量，转化成了只需要确定两个标量 μt（湍流粘度）和k（湍动能）。

现在任务一下子就清晰了：只要我们能求出μt和k，雷诺应力就知道了，RANS 方程就封闭了。

如何求μt和k？不同的人提出了不同的方法来确定μt和k。根据需要额外求解几个微分方程，就叫做几方程模型。

前面我们已经讲解了一方程模型，Spalart-Allmaras模型，今天我们详细介绍一下二方程模型中的k-ε模型。

Fluent软件中有三种k-ε模型，分别是标准k-e模型、RNG k-e模型和Realizable k-e模型。下面我们就详细介绍

2.1标准的k-ε模型

在上文我们讲到，一方程模型需要人为给定湍流的长度尺度 l。长度尺度反映了涡的大小，直接影响湍流的混合能力。在一方程模型中，l往往需要通过代数经验公式给出。

一旦流动几何复杂（如带分离、回流、多部件），这个长度尺度就很难准确给定。

而二方程中的k-ε 模型不再需要经验指定长度尺度，适用范围广，成为工程主流。

k-ε 模型仍然沿用 Boussinesq 的涡粘性假设，比例系数是湍流粘度μt，但其用湍动能k和耗散率ε来表示μt

上述公式是通过量纲分析得到的，其中Cμ是一个经验常数约 0.09，即Fluent中k-epsilon湍流模型中的Cmu参数

这个公式非常符合物理直觉，即湍流越强k越大，μt越大；湍能耗散越快ε越大， μt越小。

现在μt可以表示出来了，但是k和ε又怎么计算呢？k-ε模型通过输运方程来求解k和ε

k 方程：描述湍动能的生成、扩散和耗散。生成项Gk来自平均速度梯度做功，耗散项就是ρε。

ε 方程：并非直接推导，而是仿照k方程的形式构造出来的，包含生成、扩散和破坏项。它决定了湍流耗散的速率，从而间接控制湍流长度尺度的演化。

结合ut、k和ε方程，可以看到公式里面出现了几个常数参数，分别是Cμ、C1ε、C2ε、σk、σε。1974 年Launder & Spalding给出了这些参数非常经典的数值

Cμ=0.09、C1ε=1.44、C2ε=1.92、σk=1.0、σε=1.3

之所以说这些参数经典，是因为后续的大量实验都验证了这些参数的正确性。因此除非有非常充足的理由，否则都不需要更改这些参数。

Fluent软件中这些参数的默认值也是如此

标准k-ε 模型计算稳定，收敛性不错。而且有大量实验验证，对平板边界层、管流、射流精度可接受。几乎所有 CFD 软件的首选 RANS 模型。

但其也存在一些缺点，主要有：

• 无法处理强旋流：各向同性涡粘假设在强旋转流动中失效，预测的旋转效应偏弱。

• 圆管射流扩张过快：预测的射流宽度比实验宽约 40%，原因是模型过高估计了湍流粘度在射流中心的扩散。

• 近壁面依赖壁面函数：需要配合对数律壁面函数，在强压力梯度或分离区精度下降。

正是这些缺陷，催生了标准 k-ε 的两个著名改进版本：RNG k-ε 和 Realizable k-ε。

2.2 RNG k-ε模型

RNG = Renormalization Group（重整化群），一种统计学理论方法。1986年Yakhot & Orzag用数学推导修正了 ε 方程，得到 RNG k-ε。

ε方程中增加一个附加源项 Rε

其中新增项Rε：

其中的常数η0=4.38，β=0.012

如果我们把方程的Rε和C2ε这两项合并，ε方程可以写成

这个形式和标准的k-ε模型的ε方程形式相同，但关键区别在于 C2ε*不再是常数。

这样做的好处是在高应变率即η 大的区域，比如强旋流、壁面弯曲处，C2ε∗会自动增大，从而增强ε方程中的破坏项，湍流耗散率ε会被“推高”，导致湍流粘度 μt降低，从而削弱过于强烈的湍流混合，改善对旋流和分离的预测。

而在低应变率区域，η趋向于0，Rε也会趋向于0，此时RNG模型会变成标准的k-ε模型。

所以我们可以看到，RNG模型对标准模型进行了拓展，使得标准模型对于高应变率的预测更加精确

同时RNG模型的常数取值也和标准模型不同，从理论上计算出 Cμ≈0.0845，其他参数取值为C1ε=1.42、C2ε=1.68

而在Fluent 软件中，RNG 模型通常采用有效粘度比来插值得到 σk、σε，不再使用固定值，因此界面中没有这两个参数的设置

除了上述的参数设置，RNG模型还有两个附带的选项，这部分内容我们在第三节的界面介绍中详细说明

我们总结一下，RNG k−ε模型对于对强应变率敏感，对分离流和旋转流更准确，适用于射流、旋风分离器等流动。但其本质上仍然是针对高雷诺数的湍流模型，且会多消耗10%-15%左右的CPU时间。

2.3 Realizable k-ε模型

前面我们介绍了标准的k−ε模型和RNG k−ε模型，标准的k−ε模型设置了5个常数参数，RNG k−ε模型将常数参数中的C2ε表达成了应变率的方程，使得模型更加适用于强应变率流动。

这两种模型都假定Cμ是常数。这个假设在平板边界层、圆管流中效果不错，但一旦遇到强应变率或大曲率的流动，就会出现问题。

最经典的例子是圆管射流：实验发现，射流核心区的湍流粘度应该远低于标准模型的预测，导致射流扩张速度比实验值快约 40%。为什么标准模型会高估 μt？

因为 应该k^2/ε在射流中心被算得偏大，但 Cμ又被锁死在0.09，导致湍流粘度过大。从物理角度上，雷诺应力也必须满足一些物理约束。

因此为了达到这一目的，1995 年 Shih 等人提出了 Realizable k-ε 模型，核心目标就是：让 Cμ不再是常数，而是随平均流场动态调整，并精准预测射流扩张。

Realizable 模型中的 Cμ表达式为：

Sij 是平均应变率张量，Ωij是平均旋转率张量（考虑角速度）

当平均应变率S很大时，U∗变大，分母中 AsUk∗/ε 项占主导，Cμ会自动减小，湍流粘度就会降低，这就达到了对湍流预测的限制作用。

同时Realizable 模型还对ε方程进行了改进。标准模型的ε方程来源于经验推导，并非严格理论推导。

Realizable模型从输运方程出发推导得到ε方程：

生成项：ρC1Sε，和标准的ε方程相比，直接用S乘以ε，避免了 kk 在分母上引起的奇异行为。同时破坏项：分母中加了 sqrt(νε)，保证在近壁区不会发散。

我们总结一下，Realizable k-ε模型重新推导Cμ和ε方程，使雷诺应力满足物理可实现条件，因此在旋转均匀剪切流，包含有射流和混合流的自由流动，管道内流动，边界层流动，以及带有分离的流动现通常最好。

Fluent理论手册中专门指出：Realizable模型能够更准确预测射流扩散率

2.4 三种k-ε模型对比

我们借助AI来总结生成三种模型的对比表格

3.1 标准k-ε模型界面

我们这里只说每个湍流模型附加的参数设置，对于通用的参数这里暂且不提。

对于标准k-ε模型，需要设置的就是界面右上的几个常数参数，也就是2.1节给出的参数：

Cμ=0.09、C1ε=1.44、C2ε=1.92、σk=1.0、σε=1.3

这些常数应该了大量的工程检验，一般不需要修改。或者说，如果你想修改这些参数，那你就要给出能够说服别人的理由。

而其他的设置，如壁面函数的选取，可以参考文章：一文说清楚Fluent壁面函数(Y+)和近壁面处理

Options设置，Turbulent Viscosity设置和Turbulence Damping Options设置我们后面的文章再介绍。

3.2 RNG k-ε模型界面

RNG k-ε模型界面也需要设置一些常数参数，这里再2.2节已经介绍过。下面我们重点说说RNG Options的设置

Differential Viscosity Model：勾选此选项，表示使用有效粘度 μeff的微分公式来考虑低雷诺数效应

其中 ν^=μeff/μ，表示有效粘度与分子粘度之比

这个微分方程能更好地描述从粘性底层到对数律区的过渡。可以借此选择低雷诺数 RNG模式，直接积分到壁面，而不依赖壁面函数。

Swirl Dominated Flow：RNG 模型在强旋流中可以开启旋流修正。此时湍流粘度 μt会乘以一个与旋流数相关的函数：

这时界面会多出一个参数设置

Fluent 中提供了旋流常数 αs，默认 0.07。对于强旋流，可将其提高到 0.1 左右，进一步抑制过高的湍流粘度。

3.3 Realizable k-ε模型

Realizable k-ε模型需要设置一些常数参数，一般保持默认即可

除了常数参数外，Realizable k-ε模型还可以启用SBES或者是SDES模型，也就是勾选Stress Blending（SBES）/Shielded DES。

勾选这个选项后，设置比较复杂，这里我们只说明这个选项的作用，不详细介绍。

勾选这个选项之后，相当于RANS控制方程植入LES功能，是一种混合RANS-LES方法。用RANS来处理附着边界层，用LES捕捉远离壁面的大尺度分离涡

全文5000多字，我们终于把三种k-ε模型用大家能够理解的方式，一步步介绍完了。这个过程只能说是帮助大家理解三种k-ε模型为什么会出现，以及改进了什么。

即便如此，文章写起来也非常费力，希望大家能够多多点赞+推荐支持！！

实际上这些模型的数学方程非常复杂，看着就让人头大，不得不佩服各位大佬能够提出这些模型

下面的文章我们就继续开启湍流模型系列，尽量把这个系列讲完