作业10-3答案 试按第四强度理论求轴的直径

题目

图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮      上作用有铅垂切向力     、径向力     ；齿轮      上作用有水平切向力     、径向力     。齿轮      的节圆直径     ，齿轮      的节圆直径     。设计用应力     。试按第四强度理论求轴的直径。

图中几何尺寸为：    ，    ，    ，因此     ，    。

解答

核心思路

该轴同时承受弯曲和扭转。

铅垂方向载荷      和      使轴在      平面内弯曲，对应弯矩记为     。

水平方向载荷      和      使轴在      平面内弯曲，对应弯矩记为     。

弯矩正方向按与挠度二阶导数同号确定，即：

分别求出危险截面处的     、    ，再合成为空间弯矩：

齿轮切向力产生扭矩，齿轮      与齿轮      产生的扭矩大小相等、方向相反，因此轴在      到      之间传递扭矩。

最后按第四强度理论：

进行轴径设计。

1. 计算轴上传递的扭矩

齿轮      上的切向力为     ，节圆直径为     ，所以其产生的扭矩为：

齿轮      上的切向力为     ，节圆直径为     ，所以其产生的扭矩为：

两者大小相等、方向相反，因此轴在      到      之间传递的扭矩大小为：

即：

2.      平面内弯曲计算

在      平面内，外载荷为齿轮      处的      和齿轮      处的     ，二者均沿      方向。

设支座     、     在      方向的支反力分别为     、    ，以      方向为正。

由合力平衡：

所以：

对      点取合力矩，按图中平面内逆时针为正列式：

所以：

由此求      平面内弯矩。

在      截面处：

在      截面处：

因此：

3.      平面内弯曲计算

在      平面内，外载荷为齿轮      处的      和齿轮      处的     ，由图中方向判断二者均沿      方向。

设支座     、     在      方向的支反力分别为     、    ，以      方向为正。

由合力平衡：

所以：

对      点取合力矩，按图中平面内逆时针为正列式：

所以：

因此：

负号表示      实际方向与所设      方向相反。

由此求      平面内弯矩。

在      截面处：

因此：

在      截面处：

因此：

4. 判断危险截面

在      截面处，合成弯矩为：

在      截面处，合成弯矩为：

由于：

所以危险截面为      截面。

危险截面处：

即：

并且由于      截面位于      与      之间，所以该截面同时承受扭矩：

5. 按第四强度理论求轴径

对于实心圆轴：

其中：

所以：

第四强度理论为：

代入：

整理得：

强度条件为：

因此：

代入：

则：

又因为：

所以：

因此：

工程上可取：

最终答案

轴在      到      之间传递的扭矩为：

危险截面为      截面，其合成弯矩为：

按第四强度理论计算，轴的直径应满足：

工程设计可取：