作业9-1答案 应力圆求主应力和主方向

 

解答：

1. 已知平面应力状态

题中给出：

其中      和      是同一应力状态在相邻两个互相垂直截面上的切应力，大小相等、方向成对出现。

按照应力圆作图习惯，横坐标为正应力     ，纵坐标为切应力     。

2. 确定应力圆上的两个已知点

对于      面，应力圆上的点为：

代入数据：

所以图中      点在第四象限。

对于      面，应力圆上的点为：

由于     ，所以：

因此：

这与图中标出的      一致。

注意：应力圆中     、     两点必须位于圆的同一直径两端，因为      面和      面互相垂直，在应力圆上相差     。

3. 求应力圆圆心

应力圆圆心在      轴上，其横坐标为两个正应力的平均值：

代入：

所以圆心为：

这与图中“圆心     ”一致。

4. 求应力圆半径

半径可由圆心到      点的距离求得：

代入：

也可写成标准公式：

代入：

5. 求主应力

主应力对应应力圆与      轴的两个交点。

最大主应力为：

代入：

最小主应力为：

代入：

因此：

6. 求最大切应力

应力圆半径就是平面内最大切应力：

所以：

最大切应力对应应力圆最高点和最低点，其正应力均为圆心横坐标：

7. 求主方向角

主方向是从原来的      面转到主平面的方向。

在应力圆上，从点      转到      点，即从      半径转到      半径。

由图可见，     向量为：

所以      与      轴正向的夹角为：

而      点位于      轴正向，其对应圆心半径方向角为：

因此，在应力圆上，从      点转到      点需要转过：

应力圆上的转角等于实际单元体转角的两倍，所以实际主方向角为：

但是需要注意方向关系。

图中从      点到      点在应力圆上是逆时针转     。按照常用应力圆约定，应力圆上的转角方向与实际单元体的转角方向相反。因此，实际单元体应从      轴顺时针旋转：

也就是说：

表示最大主应力      的方向相对于      轴顺时针转     。

另一个主方向与其垂直：

所以：

8. 本题最终结果

其中：

•       方向为从        轴顺时针转       ；
•       方向与        垂直；
• 应力圆中从        点到        点的圆心角为       ，对应实际单元体转角       。