作业8-2答案 题目：梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接。
题目：梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接。在梁受荷载作用前，杆 AD 内无内力。已知梁和杆由同种钢材制成，材料弹性模量为 ；钢梁横截面的惯性矩为 ，拉杆横截面的面积为 。试根据图示尺寸求出钢杆 AD 内的拉力 。
一、题目分析
梁 在 、 两点支承，右端 通过竖直钢杆 与上方固定端 相连。
已知：
段受均布载荷 段受均布载荷 梁的抗弯刚度为 杆 的轴向刚度为
要求求钢杆 内的拉力 。
由于梁和杆由同种钢材制成，所以二者弹性模量均为 。
统一采用：
挠度 ：向上为正； 转角 ：逆时针为正； 杆 拉力记为 ； 为避免“点 ”和“杆截面面积 ”混淆，推导中先将杆截面面积记为 ，最后令 。
二、基本思路
用钢杆拉力 代替杆 对梁端 的作用。
杆 被拉伸时，对梁端 施加向上的拉力 。
梁端 的总挠度由三部分叠加得到：
其中：
： 段均布载荷 引起的 点挠度； ： 段均布载荷 引起的 点挠度； ：杆力 向上作用于 点引起的 点挠度。 
因为杆 的上端 固定，下端 随梁端向下移动时，杆被拉长。若取杆的拉伸量为正，则
而挠度 取向上为正，所以当杆伸长时，梁端 实际向下移动，有
因此位移协调条件为：
三、计算 段均布载荷 引起的 点挠度
先只考虑 段上的均布载荷 。
此时 可看作跨度为 的简支梁， 段无载荷，因此 段保持直线。
简支梁 在全跨均布载荷 作用下，右支座 处转角为：
整理得：
这里 为正，表示 点逆时针转角为正。由于 ，且 段无弯曲变形，所以 点位移由 点转角引起：
代入得：
所以：
该值为正，表示 段均布载荷 单独作用时，会使外伸端 向上位移。
四、计算 段均布载荷 引起的 点挠度
再只考虑外伸段 上的均布载荷 。
这部分用变形叠加法计算，可分为两部分：
外伸段载荷对支座 产生等效端弯矩，使简支梁 发生转角； 
外伸段 自身作为悬臂梁产生端部挠度。 
1. 外伸段载荷对 点产生的等效端弯矩
外伸段 上均布载荷为 ，长度为 ，其合力为：
合力作用点距 点为：
所以对 点产生的等效端弯矩大小为：
代入得：
该端弯矩使简支梁 在 点产生转角。由于该弯矩会使 点发生顺时针转角，而逆时针为正，所以：
代入 ，得：
该转角引起 点位移：
所以：
2. 外伸段 自身的悬臂梁挠度
把 看作固定端在 、自由端在 的悬臂梁，长度为 ，均布载荷为 。
悬臂梁自由端挠度大小为：
由于载荷 向下，而挠度向上为正，因此该挠度为负：
即：
3. 合成 引起的 点挠度
因此：
代入：
通分得：
所以：
该值为负，表示 段均布载荷 会使 点向下位移。
五、计算杆力 引起的 点挠度
杆力 对梁端 的作用方向向上，因此会使 点产生向上的位移。这里不能直接查表，因为 作用在外伸梁的外伸端，应采用变形叠加法计算。
外伸段 长度为 。将 的影响分为两部分：
对支座 产生等效端弯矩，使简支梁 在 点发生转角； 外伸段 自身作为悬臂梁，在自由端集中力 作用下产生端部挠度。
1. 对 点产生的等效端弯矩
杆力 作用在外伸端 ，距 点距离为 ，因此对 点产生的等效端弯矩大小为：
该端弯矩使跨度为 的简支梁 在 点产生转角。
由于 向上，使 点产生逆时针转角，因此：
代入 ，得：
该转角引起外伸端 的位移：
所以：
2. 外伸段 自身的悬臂梁挠度
再把 看成固定端在 、自由端在 的悬臂梁。
自由端 受到向上的集中力 。悬臂梁自由端挠度大小为：
由于 向上，且挠度向上为正，所以该位移为正：
3. 合成杆力 引起的 点挠度
因此：
代入：
所以：
该值为正，表示杆力 使梁端 向上位移。
六、梁端 的总挠度
将三部分叠加：
代入：
前两项合并：
因此：
即：
七、建立位移协调条件
钢杆 的伸长量为：
由于 点固定，杆 被拉长时，梁端 向下移动。又因为 取向上为正，所以：
即：
代入梁端 的总挠度表达式：
两边同乘 ，得：
整理得：
即：
因此：
分子分母同乘 ，得：
由于题中杆截面面积记为 ，即 ，
八、最终答案
钢杆 内的拉力为：
其中：为钢杆 的横截面面积； 为钢梁横截面的惯性矩； 为钢杆长度； 已在协调方程中约去，因为梁和杆为同种钢材。
