作业5 答案 1（修订版本）

1. 试求图 1 所示各梁中截面 1-1， 2-2 上的剪力和弯矩， 这些截面无限接近于截面      或     。 设     ，    ，    ，     均为已知。

    
   （1）计算支座反力  

   取全梁为研究对象，设支座       、       的反力分别为       、      （向上为正）。已知       ，      。

      

      

      

      

      

    

   （负号表示        方向向下）

   ---

   （2）截面 1-1 上的内力（       截面左侧       ）

   取截面 1-1 左侧部分（即        段）为研究对象。该段长度为       ，受均布载荷        作用。 设截面上的剪力为       ，弯矩为       。按照标准符号规定：左段截面剪力向下为正，弯矩逆时针（使下侧受拉）为正。

      

      

    

   ---

   （3）截面 2-2 上的内力（       截面左侧       ）

   取截面 2-2 左侧部分（即        段）为研究对象。该段全长为       。 受力情况：       段均布载荷       ，支座        的反力       。

      

      

      

      

      

      

      

    

   ---

   结果总结

   截面位置	剪力	弯矩
   1-1 (           左侧)
   2-2 (           左侧)

   解析补充：

   
    
    
   (1) 计算支座反力  

   首先将三角形分布载荷简化为集中力       ：

   取整根梁为研究对象，设支座       、       的反力分别为       、      （向上为正）：

   ---

   (2) 截面 1-1 上的内力（       点左侧       ）

   取截面 1-1 左侧部分（即        段）作为研究对象。

   ---

   (3) 截面 2-2 上的内力（       点右侧       ）

   取截面 2-2 左侧部分（即        段）作为研究对象，此时需要包含        点的支座反力       。

   ---

   结果总结

   截面位置	剪力 FS	弯矩 M
   1-1 (          )
   2-2 (          )

   要点说明：

   ------  

• 垂直方向受力平衡         ：

     

     

     

• 对截面 2-2 中心取矩         ：

     

     

• 垂直方向受力平衡         ：

     

     

• 对截面 1-1 中心取矩         ：

     

     

• 对          点取矩         ：

       

       

       

• 垂直方向受力平衡         ：

       

       

  （即        实际方向向下）

• 大小：      

• 作用位置： 距离        点       ，即距离        点       。

• 在        点处由于存在支座反力       ，剪力会发生突变：      。
• 在        点处，由于存在集中力偶       ，弯矩会发生突变。若取        点右侧，弯矩将变为       。
• 对截面 2-2 中心取矩       （逆时针为正）：均布载荷        的合力        距离截面       ，反力        距离截面       。
• 列垂直方向平衡方程       ：
• 对截面中心取矩       ：
• 列平衡方程       ：
• 垂直方向受力平衡       ：
• 对        点取矩       （逆时针为正）：

1. 剪力突变： 1-1 和 2-2 截面跨过了支座       ，因此剪力发生了大小为        的突变，即       。

2. 弯矩连续：       点没有集中力偶作用，因此左右两侧的弯矩值相等。

2. 设图 2 所示各梁的载荷   ，  ，   和尺寸    均为已知。 （1） 试列出梁的剪力方程和弯矩方程； （2） 作剪力图和弯矩图； （3） 确定    及   。

这个问题具有高度的对称性，利用对称性可以极大地简化计算。由于结构和载荷关于      点完全对称，我们可以直接判定支座反力相等。

---

1. 计算支座反力

• 总竖向载荷：

• 均布载荷         ：        

• 集中力         ：        

• 总计：        

• 支座反力：

  根据对称性，      

2. 作剪力图 (SFD) 与 弯矩图 (BMD)

利用图解法（微分关系）：

• 剪力图 (SFD)：

1. 从          点 (0) 开始，斜率为         ，线性下降至          左侧的         。

2. 在          点受          向上突跳，变为         。

3.         段无载荷，剪力平直线。

4. 在          点受          向下突跳，变为         。

5.         段平直线。

6. 在          点受          向上突跳，变为         。

7.         段斜率为         ，线性下降至          点的

• 剪力图面积计算：

根据之前的剪力方程，我们可以得到各段的面积     ：

•         段（三角形）：底边长为       ，高为       。

     

•         段（矩形）：底边长为       ，高为       。

     

•         段（矩形）：底边长为       ，高为       。

     

•         段（三角形）：底边长为       ，高为       。

 

---

• 弯矩图（BMD）的逻辑推导

利用     ，我们可以从左端      点顺次推导出各关键点的弯矩值：

1.       点： 自由端，      。
2.       点：      。

• 线型判断：       段剪力为线性函数，故弯矩为二次抛物线。由于剪力始终为负值，弯矩斜率始终为负，图线下凹。

1.       点：      。

• 线型判断：       段剪力为常数，故弯矩为斜率为正的直线。

1.       点：      。

• 线型判断：       段剪力为常数，故弯矩为斜率为负的直线。

1.       点：      。

• 线型判断：       段剪力为线性函数，弯矩回落至零。

---

总结与验证

这种“面积累加法”不仅直观，还能起到自校核的作用：由于      点也是自由端，其最终累加结果必须为     。如果最后不归零，说明支座反力或剪力计算有误。

这种方法非常符合工程直觉：

• 剪力突跳（支座处）：对应弯矩图的转折点（斜率突变）。
• 剪力为 0 处：对应弯矩的极值点（本题中出现在       、       两端及        点局部）。
• 负面积累积：代表梁向上弯曲（上拉下拉）；正面积累积：代表弯矩值回升。

---