150、Fluent瞬态计算的库朗数必须小于1吗？库朗数和时间积分格式的关系？

很多同学初次接触Fluent瞬态计算，肯定知道库朗数的概念，而且一定听过”瞬态计算要把库朗数控制在1以下，否则结果就不准，甚至会发散“的说法，这种说法 正确吗？

实际上这种说法是很不准确的，库朗数的数值和时间格式有关，而且大部分我们常用的时间格式下，库朗数都不需要小于1。今天我们好好说清楚这个问题！！

在文章148、Fluent 中为什么时间是"积分"而不是"离散"？？中，我们详细介绍了时间积分的由来，这里简单说明。通用的时间演化表达式可以写为

其中函数F包含了所有的空间离散项。从t时刻到 t+Δt时刻，ϕ的真实变化应该是：

其中的ϕ(n+1)是下一个时间步的变量，也是我们想要求解的。这是一个精确的积分表达式。

由于F(ϕ)是ϕ的函数，而ϕ和时间有关，因此F(ϕ)也随时间变化。但问题是我们不知道 F(ϕ) 在时间区间内的具体变化，所以需要对积分进行近似。

如何近似呢？？我们假设一种最简单的方式。假设 F(ϕ)保持为当前时刻的值 F(ϕn)，那就是说在Δt时间内，F(ϕ)是不变的，一直是F(ϕn)，那等式的右边就可以直接积分了：

将右边的Δt移动到等式左边，方程就变为了

此时ϕ(n+1)可以直接计算出来，这就是Fluent理论手册上，时间积分的一阶显式格式。

根据F(ϕ)的不同假设，可以将时间积分格式分为几种

2.1 一阶隐式

一阶隐式格式是 Fluent 瞬态计算中最常用的格式之一，也是默认选项。

其基本思想是：在计算ϕ(n+1)时，方程右端的空间项全部采用n+1时刻的值来计算。数学上可以表示为：

这里 F(ϕ)代表空间离散后的算子（包含对流、扩散和源项）。

特点：

无条件稳定：无论时间步长取多大，计算结果都不会因时间步长过大而发散（当然，精度会下降）。

这意味着，这种格式对库朗数没有要求

一阶时间精度：时间离散的误差与Δt 成正比，即O(Δt)。

计算效率高：每个时间步内需要求解一个代数方程组，但由于是隐式，允许取较大的时间步长。

适用场景：绝大多数工程瞬态问题，尤其是对时间精度要求不高的定常问题向瞬态过渡的计算。

2.2 二阶隐式

为了提高时间精度，Fluent 提供了二阶隐式格式。其离散形式为：

注意右端空间项仍然采用n+1时刻的值。

特点：

无条件稳定：与一阶隐式相同。

二阶时间精度：时间离散的误差与(Δt)²成正比，精度更高。

可能引入数值振荡：在流场变化剧烈或初始条件不连续的情况下，二阶格式可能产生非物理的振荡。

适用场景：对时间精度要求较高的瞬态问题，如涡旋脱落、声学分析等。使用时建议配合较小的初始时间步长。

2.3有界二阶隐式

这是 Fluent 中一个非常实用的改进格式，可以理解为“带限制器的二阶隐式格式”。

它的核心思想是：在二阶隐式格式的基础上，引入一个限制器。当检测到某个物理量可能出现非物理振荡时，限制器会自动将格式降阶为一阶隐式，从而保证解的有界性。

特点：

不适用于基于密度的求解器，仅适用于基于压力的求解器。

仅适用于多相的隐式体积分数离散化方案，而不适用于显式体积分数方案

不支持 Singhal 空化模型。

2.4 显式时间积分

显式格式与隐式格式的思路正好相反。在计算ϕ(n+1)时，方程右端的空间项采用n时刻的值：

这样一来，ϕ(n+1)可以直接由ϕ(n)显式计算得到，无需求解代数方程组。

特点：

它主要用于捕捉移动波的瞬态行为，例如激波，在这些情况下，它比隐式时间步进方法更准确且成本更低。

只有在显式密度基才可用，对于压力基或者隐式的密度基不可用

时间步长必须小于某个临界值，否则计算会发散。这个临界值通常由库朗数来表征。

库朗数，通常写作CFL，是衡量时间步长与网格尺度匹配程度的一个无量纲数。它的物理意义可以理解为：在一个时间步长内，流体信息穿过网格单元的数量。

对于一维情况，库朗数的定义为：

其中，u 是当地流速，Δt是时间步长，Δx是网格尺度。在三维流动中，库朗数通常取各个方向的最大值。

3.1 显式格式与库朗数

对于显式时间积分格式，稳定性要求决定了库朗数必须小于某个临界值。对于大多数对流占优的问题，这个临界值通常是 1（采用一阶迎风空间格式时）。

也就是说，如果采用显式格式，我们需要确保 CFL≤1。否则，数值误差会迅速放大，导致计算发散。

这就带来了一个现实问题：如果网格非常细（Δx 很小），或者流速很快（u 很大），那么为了保证库朗数不大于 1，时间步长 Δt 就必须取得非常小。对于复杂三维问题，这往往意味着巨大的计算量。

这就是我们常听到的说法：瞬态计算，库朗数必须小于1；实际上只有显式时间积分格式，才需要满足这个要求。

而显式时间积分格式，只有在显式密度基才可用。对于压力基或者隐式的密度基，我们是用不到显示时间积分的，更不需要CFL≤1

3.2 隐式格式与库朗数

对于隐式格式，由于算法上是无条件稳定的，理论上库朗数可以取任意大的值。这也是隐式格式在工程应用中如此普及的核心原因。

但这里有一个重要的概念需要澄清：稳定并不等于精确。

当库朗数很大时（例如CFL>10 甚至 CFL>100），虽然计算不会发散，但时间离散误差会显著增大。尤其对于一阶隐式格式，过大库朗数会导致“数值黏性”人为增加，抹平流场中的瞬态细节。

所以，隐式格式中库朗数的取值，更多是一个精度与效率的权衡问题，而非稳定性问题。

3.3 实际工程中如何取值？

根据我个人的经验，给出一些参考数值：

从上面的内容可以看出库朗数小于1只是一种特殊的条件，而且还是不常用的情况。大部分情况下，库朗数可以大于1甚至远大于1，但需要考虑计算精度问题，对库朗数还是需要限制