如何开发超弹性Umat-核心推导:张量不变量及其偏导数

易木木响叮当

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超弹性材料本构是一种常见的材料本构。这种材料在经历大变形后能够完全恢复原始形状。常见的使用超弹性本构的材料包括橡胶，生物软组织等。

由于其广泛地使用，在商用有限元软件中，超弹性本构几乎是必备的。常见的超弹性材料本构包括Neo-Hookean，Ogden，Mooney-Rivlin，Yeoh等。

 

 

如果出于学术/工程需要，有时候可能需要在商用有限元软件中加入自己的超弹性本构（比如采用Abaqus的Umat）或者在自己的求解器中开发超弹性本构，此时就需要对超弹性本构有深入的理解，并能够推导出本构所需要的应力更新计算过程和一致切线刚度计算过程。

要推导超弹性本构得应力更新计算，首先得清楚超弹性本构得应力如何获得。

和线弹性材料和弹塑性材料本构不同，超弹性本构通常使用应变能密度函数来描述，在超弹性材料本构中，由于完全可逆，超弹性本构的应力可由应变能密度函数对应变的微分直接求得。

 

 

超弹性本构的应变能密度函数通常表达成右柯西-格林变形张量的张量不变量的函数，这里涉及的张量不变量指的是如下3个不变量：

 

 

右柯西-格林变形张量：

 

 

这里的不变量的意思是无论张量的分量是在哪个坐标系下描述的，张量不变量的值都保持固定。例如，Neo-Hookean的应变能密度函数的一种表达式如下：

 

 

这里的I1是右柯西-格林变形张量的第一不变量，J是右柯西-格林变形张量第三不变量的平方根。

有了应变能密度函数之后，采用以下公式即可得到应力：

很显然，要得到应力，就需要求右柯西-格林变形张量C的张量不变量对张量C本身的偏导数。在一些有限元书上已经给出了具体结果，如下：

 

 

本文主要描述上述的偏导数是如何推导出来的。具体过程如下：

上面的I(2)是二阶单元张量，第一不变量和第二不变量的偏导数的具体推导过程已经在上面给出。对于第三不变量，其推导就相对复杂了。

第三不变量的偏导数推导（一）

首先引入Cayley-Hamilton Theorem：

对上式两端同乘二阶单元张量：

同时：

并且

因此

继续考虑Cayley-Hamilton Theorem：

对上式两端同乘A的逆矩阵，得：

所以

第三不变量的偏导数推导（二）

上面的第三不变量的偏导用到了Cayley-Hamilton Theorem，且推导过程也较为繁琐。下面采用一种更简单的方式完成。

依据行列式的定义：

 

 

同时，依据逆矩阵的定义，逆矩阵与伴随矩阵的关系：

 

 

所以

 

 

如此，就完成了第三不变量对张量本身的推导。这种方法相对于前一种方法，要简单许多，关键在于对行列式和逆矩阵的相对深入的理解。

以上，就完成了张量不变量对张量的偏导，对于超弹性本构的开发来说，这可能仅仅是完成了第一步。完成上述步骤之后，仍需大量工作，方能完成超弹性本构的推导。

以上即是本文的全部内容，感谢阅读！

来源：易木木响叮当