一种经典的梁单元格式
梁单元是有限元中一种常见的单元，其主要用来模拟细长结构，具体来说，对于三维结构来说，当结构在一个维度上的尺寸远大于其他两个维度的尺寸时，就可以采用梁单元来模拟。梁单元历史悠久，已经发展了多种格式。常见的分类可包含例如不考虑剪切的欧拉-伯努利梁及考虑剪切的铁木辛柯梁等。对于小变形下的梁单元，在一般的结构力学书或者有限元教程上通常可见其刚度矩阵的显式格式，在开发梁单元时，我们只需要根据该格式进行编程即可。例如，不考虑剪切的二维梁单元刚度矩阵通常表示如下：这个刚度矩阵是在局部坐标系下的刚度矩阵，计算时通常需要将其转换到整体刚度矩阵，具体转换过程如下：以上，仅是小变形下的梁单元的处理，比较基础。当梁单元发生大变形时，需要考虑梁单元的几何非线性，此时问题就复杂了。首先面临的问题是梁局部坐标系下的刚度与整体坐标系下的刚度转换矩阵是通过梁方向与整体坐标系的夹角得到，在大变形时，梁的方向不断变化，如何定义这个转换矩阵是个问题，由于大变形下，通常采用的是对增量位移进行插值，采用全拉格朗日还是增量拉格朗日在转换时也有所区别，梁截面方位的大转换更新也较为复杂，常见的更新方式包括欧拉角，四元数等。对于大变形梁单元，常见的格式包括CR共旋梁单元格式，几何精确梁，Degenerate 曲边梁单元等。本文介绍的是Bathe提出的Degenerate 曲边梁单元，这种梁单元考虑了剪切效应，其具体插值格式如下：依据图片可知，这里和传统的Hermit梁的插值的区别是直接对三维坐标进行插值获得中心线的位置，再依据两个方向的转角获得梁中任何一点的位置坐标。这么做的好处是避免了像常规的Hermit梁的整体局部刚度矩阵的转换。获得上面的位移插值表达之后，像三维实体一样将应变表达为位移对位置的微分，即可得到应变-位移关系的B矩阵。要注意的和实体不同的是，在梁单元中，应变和应力始终应该是与梁的材料方向/截面方向统一的，即，获得了这样的量并得到了这些量表达的应变-位移关系的B矩阵后，还应该根据积分点处的“局部坐标系”转换为横向应变，纵向应变等。当然，另一种方式是直接采用曲线坐标系下的协变应变分量和逆变应力分量进行计算，在这种方式下，如果是大变形几何非线性，协变格林-拉格朗日应变分量可以简洁地由协变基算出，更为简单方便。以上，即是本文所要介绍的梁单元的具体格式，感谢阅读！ 著作权归作者所有，欢迎分享，未经许可，不得转载
首次发布时间：2026-03-25
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