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一文搞明白工程中的应力应变关系和应用

CAE之家

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一、单轴拉伸试验

对于单轴拉伸试验（如图1），可以得到该样件的工程应力应变曲线，如图2所示。

通过上述曲线可以看出，当材料出现颈缩后，工程应力逐渐下降；而实际上随着拉伸的继续进行，材料会出现局部软化，内部的微孔洞会逐渐聚集在一起，直到最后变大样件断裂。实际上随着应变的增加，应力也是增加的，此时的“应力”为真实应力。

典型的单轴拉伸试验结果如下所示：

整个拉伸试验主要分为四个阶段，也称为四步法拉伸，即比例极限阶段、弹性极限阶段、强度极限阶段和颈缩断裂阶段。

比例极限阶段σ_p：在拉伸初期为线弹性阶段，材料呈现明显的比例关系，即应力和应变呈现胡克定律关系，F=KX，即采用应力应变关系为：
σ_p=E*ε_p

弹性极限阶段σ_e：在该阶段应力应变同样为弹性关系，但不一定是比例关系，此时若撤去外力，应力沿原先路线回到原点。此阶段为弹性的最大极限阶段，即为σ_e，此阶段有一个比较微观的内部特征是材料内部微孔洞的初期形成。
强度极限阶段σ_b：随着外力的继续加载，材料开始进入微塑性阶段，此时对于韧性材料会出现一定的微小振荡，即表现为应力突然加大然后下降并持续一小段的波动，此时材料会进入屈服阶段。在该阶段材料从最大弹性极限进入到塑性起始阶段，在这一阶段有些材料屈服不明显，此时工程上通常采用0.2%的应变对应的应力作为屈服应力。此阶段也表征材料从弹性开始进入塑性。
随着外力加载的继续进行，材料逐渐进行强化阶段，表现为材料的应力加大，内部微孔洞成长，以及慢慢长大，直到应力达到最大，即为强度极限。
颈缩断裂阶段σ_f_{：在此阶段最为明显的特征是材料开始出现颈缩，最为明显的特征是材料出现明显的硬化，表现为应力与损伤的耦合，以及内部孔洞的聚集直到出现断裂。}

二、工程应力与真实应力关系

我们知道一旦在拉伸试验中出现颈缩，测得的曲线不再适用于样品的整个标距长度，因此其值得怀疑，最好是将曲线外推超过颈缩开始的点，即颈缩后的曲线通过选择合理的硬化准则进行外推。

为此首先要清楚工程应力应变与真实应变之间的关系，并选择合适的硬化公式进行曲线外推。

1、工程与真实应力的关系

1.工程应力

指在拉伸或压缩试验过程中，施加在样件的载荷除以样件的初始横截面积：

式中σ_e为工程应力，A₀为样件初始截面积。

2.真实应力

指在拉伸或压缩试验过程中，施加在样件的载荷除以实际截面积（不是初始截面积A₀）

式中σ_t为真实应力，A为样件当前实际截面积。

3.真实应力与工程应力的关系

根据样件拉伸过程中塑性阶段的体积不变假定，即Al=A₀ l₀，即

2、工程与真实应变的关系

1.工程应变

定义：样件标距范围内的伸长量除以标距的初始值：

式中ε_e为工程应变，∆l为样件的长度变化量。

2.真实应变

定义：真实应变的增量指瞬时伸长量除以瞬时长度，真实应变为增量总和。

式中dε_t为真实应变增量，dl为长度的增量。

3.真实应变与工程应变的关系

将真实应变增量进行积分，可得

总结一下：

真实应力与工程应力关系：σ_t=σ_e*(1+ε_e)

真实应变与工程应变关系：ε_t=ln(1+ε_e）

3、工程与真实应变的数值关系

1.若样件初始长度l₀为100mm，伸长后长度l为105mm，则

工程应变为：

真实应变为：

2.若样件初始长度l₀为100mm，伸长后长度l为300mm，则

工程应变为：

真实应变为：

小结：从工程应变与真实应变的结果看，在小变形阶段（如弹性阶段），两者相差不大，结果比较接近，多数情况下小于5%；但在变形比较大时，差异达到大于45%。

注意：实验数据不可避免地存在一定误差，因此往往会表现出一定的离散性或不规则性。在使用 *MAT_24（分段线性塑性材料模型）时，建议输入经过平滑处理的应力 - 应变曲线，且曲线的采样点应尽可能少。若直接输入含噪声的实验数据，可能会导致计算结果出现异常波动；对于壳单元的平面应力塑性分析，默认的3 次迭代算法受该问题的影响尤为明显。如果需要提升计算精度，可在 *CONTROL_SHELL 关键字中设置MITER=2，从而为材料模型 3、18、19 和 24 的壳单元启用完全迭代塑性算法，但此举会增加计算成本。

三、真实应力与塑性应变

在 LS-DYNA 塑性材料模型中，定义应力 - 有效塑性应变曲线时所输入的有效塑性应变值，应为试件弹性卸载后的残余真实应变；应力值则直接输入真实应力即可。

利用真实应力 - 真实应变曲线的实验数据时，有效塑性应变的计算公式如下：

上式中ε_plastic为塑性应变；ε_t为真实应变，即总应变；ε_e为弹性应变；σ_t为真实应力；E为弹性模量。

例如：

STEP1：工程应力应变转化为真实应力应变

STEP2：去除弹性段，得到真实应力-塑性应变曲线

STEP3：去除颈缩后的真实应力-塑性应变曲线

STEP4：选择合适的硬化公式将塑性应变外推至1.0

常用的拟合公式如下：

（1）Ludwik模型，

（2）Swift模型，

（3）Hocky模型，

（4）S-H combined模型，

（5）Voce模型，

（6）Hockett-Sherby模型，

（7）Stoughton-Yoon模型，

其中S-H combined硬化公式应用较为广泛，可以兼顾硬和软性能，拟合出来的曲线与实际较为接近，拟合工具可以采用1stopt、CurveFitterSetup、origin、EXCEL、PYTHON等。

需要注意的是，随着应力值的增大，可恢复弹性应变（即真实应力与弹性模量 E 的比值）也会相应增大。对于金属材料而言，其弹性模量 E 远大于屈服应力，因此工程上常采用简化方法：将初始屈服应变作为常数，从后续所有应变值中直接减去该常数，即可得到有效塑性应变。但对于塑料 / 聚合物材料，由于其应变的弹性分量占比较大，因此在计算时必须考虑应力增大所带来的可恢复应变变化。无论采用何种材料，应力 - 有效塑性应变曲线的第一个塑性应变值必须输入 0，对应的第一个应力值则为材料的初始屈服应力。

若在 *MAT24（分段线性塑性材料模型）中，选择不输入完整的应力 - 有效塑性应变曲线，仅提供初始屈服应力SIGY和切线模量Etan，则切线模量的计算公式如下：

Etan=(Eh×E)/(Eh+E)

Eh=(σt-σSIGY)/(εt-σt/E)

其中，Etan为切线模量；Eh为硬化模量；E为弹性模量；σSIGY为初始屈服应力；σt为真实应力；εt为真实应变。

若 E >Etan， Eh 也可通过下式计算：

Eh=(Etan×E)/(E-Etan)

切线模量 Etan由弹性模量 E 和塑性硬化斜率 Ep 计算得出，Ep 为应力 - 塑性应变曲线的初始斜率，一般对应曲线中最陡的部分，且必须满足E ≥ Etan。

在使用 *MAT_24 时，若设置LCSS=0且关键字卡片 3 和 4 保持空白，程序会自动执行该条件的输入检查；若不满足E > Etan，计算将因触发致命错误而终止。

事实上，只要提供了完整的应力 - 塑性应变曲线，E > Etan的条件就一定能得到满足。

例如：假设塑性硬化斜率 Ep=3253，弹性模量 E 被设置为一个极小值（如 E=10），则切线模量 Etan= (Ep×E)/(Ep+E) = 9.97，仍满足 E > Etan 的要求。但如果通过关键字卡片 3 和 4 定义应力 - 塑性应变曲线，程序会执行弹性模量 E 与塑性硬化斜率 Ep 的对比检查，该检查条件偏保守，即使参数设置合理也可能触发报错，导致计算中断。若要规避该检查，可通过LCSS关键字定义应力 - 塑性应变曲线，而非使用卡片 3 和 4。