聊聊基于ANSYS workbench软件的强度校核，深入了解四大强度理论、摩尔-库伦理论！
大家好~，今天咋们来聊聊强度校核及强度理论的。本文略长，有兴趣的朋友还请耐心观看~
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始于应力和强度
首先问大家几个问题：应力应变是什么？强度又是什么？他们之间有什么关系？我想学过材料力学的小伙伴，对以上三个问题并不陌生，心中已有答案。
没错，应力是描述物体内部因外力作用而产生的一种内力分布状态(如图1)，应变则是物体在应力作用下产生的相对变形量，用于量化变形程度。应力与应变之间存在一定的函数关系，我们称之为本构关系。而强度是物体抵抗破坏（如断裂或永久变形）的能力，通常用应力来衡量。
图1 外力与应力
可以看出，应力是力的一种量度，强调力的分布和方向；应变是变形的一种量度，强调变形的空间分布特性，强度则是描述材料对力的响应，即是否能承受这种力而不破坏。
我们知道，对于复杂结构在受到外力作用下，其结构或材料内部的应力或应变状态是非常复杂的。实际上，结构或构件在受到外部载荷作用时，内部一点处的应力和应变是一个二阶张量，如图2，共有9个分量，其中独立分量6个（因剪应力互等定理σ_xy=σ_yx等），在笛卡尔坐标系下，可表示为如图1，它表明了应力、应变在三维空间中具有方向依赖性，因此一点的应力会随着截面方位的变化而不同，在某个截面上表现为一矢量，如图3。
图2 应力和应变张量
图3 截面应力示意
由此我们可知，在一个受力构件中，某一点的应力应变状态往往不是单向的。我们通过某一个截面上的内力并不能完全反应此处的应力状态。某一截面上的内力也只是应力应变在该截面上的投影。
那么，基于应力应变的以上特点，在构件受到外力作用是时，我们该如何利用应力和应变去衡量构件抵抗破坏的能力呢？这就是我们接下来需要聊到的强度校核问题。
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强度与失效的概述
如前所述，强度是物体抵抗破坏的能力，可以用应力来衡量。物体内的应力达到了某一临界状态时，材料会因抵抗这种状态的强度不足而引起不同的失效现象。
例如，某普通碳钢塑性材料，在强度不足时会发生屈服现象，我们以屈服时的塑性变形为失效的标志。再比如，某脆性的铸铁材料，在强度不足时会发生突然断裂的失效现象。
图4 屈服与断裂
事实上，过往的研究已经表明，强度不足引起的失效现象主要就是屈服和断裂两种类型。然而，衡量一个材料或构件的受力和变形程度的量有应力、应变、应变能密度(与应力应变相关，一维情况，u=σε/2= (Eε^2)/2)等，那么我们如何通过应力、应变、应变能密度等去判断材料何时失效呢？
长久以来，人们在综合分析材料的失效现象和资料过程中，对强度失效提出各种假说。这些强度失效假说认为，材料之所以按某种方式（断裂或屈服）失效，是应力、应变或应变能密度等因素中某一因素引起的，无论是简单或复杂应力状态，引起失效的因素是相同的，与应力状态无关，这类假说称为强度理论。利用强度理论，便可由简单应力状态的实验结果，建立复杂应力状态的强度条件。
强度理论既然是推测强度失效原因的一些假说,它是否正确，适用于什么情况，必须由实践来检验。经常是适用于某种材料的强度理论，并不适用于另一种材料；在某种条件下适用的理论，却又不适用于另一种条件。这也是目前强度理论的局限性。
本文结合ANSYS软件中的后处理输出选项，介绍软件中四大强度理论和莫尔强度理论。需要注意，这些都是在常温、静载荷下，适用于均匀、连续、各向同性材料的强度理论。当然强度理论远不止这几种，而且现有的各种强度理论还不能说已经圆满地解决所有强度和失效问题，强度理论仍然有待进一步的发展。
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ANSYS菜单栏中的应力选项
在ANSYS workbench中，我们可以方便地插入多种应力和强度结果，如下图所示。
图5 workbench中的应力结果选项
上图中，最大主(σ1)、中间主(σ2)、最小主(σ3)是某截面法向应力，也称为主应力，且σ1≥σ2≥σ3。它们是一个点上很特殊的截面上的法向应力，即这个截面上只有法向应力，没有剪切应力，如下图所示。
图6 微元体上的主应力
主应力具有一个重要属性：客观不变性，即在不同的坐标系查看该值，结果都是一样的，因此用户在ANSYS Workbench的后处理阶段查看主应力，没有坐标系一项，如图7。这一点在实际应用中非常重要，因为它允许我们在不同的坐标系下比较和分析数据，而不必担心坐标系选择的影响。因此，目前对与结构强度评估的各种理论，都是对三个主应力进行一定的运算得到。
相比于主应力，应力分量，见图5中的“法向”、“剪切”（三个方向正应力和三个方向剪切应力），可以选择坐标系，即指定截面的法向或切向应力方向。如下图7所示。
图7 主应力与法向应力定义的差别
上图5中，“最大剪切”是指最大的剪切应力，对于由三个主应力确定的单元体，最大剪切应力公式为:
最大切应力所在的截面与σ2所在的主平面垂直，并与σ1和σ3所在的主平面成 45°角。如下图所示。
图8 微元体上最大切应力与主应力
需要注意，图5中ANSYS选项“强度”指应力强度，他是第一主应力与第三主应力的差值，等于2τmax,即:
图5中，“等效(von-mises)”为冯·米塞斯等效应力，是一种用于描述材料在复杂三维应力状态下的等效应力的方法。它在不考虑应力方向的情况下描述了材料的变形和破坏特性。在许多工程应用中，冯·米塞斯等效应力常常用于评估材料的强度和耐久性。冯·米塞斯等效应力采用主应力表示的表达式如下:
von-mises应力、最大剪切应均是一种等效应力，对应于强度理论，是判定强度的一个指标。
图5中，其他选项中的“矢量主”可以得到三个主应力矢量的方向。“错误(Error)”为基于线性应力计算结果，评估的应力误差较高区域，表示该区域网格需要细化。
“薄膜应力”、“弯曲应力”等为壳单元(常用于压力容器强度校核和评估)用的应力选项，具体解析可参见《学员来信我来答：壳体的薄膜应力和弯曲应力应该怎么理解》等文章。
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强度理论及其应用
强度理论是材料科学和工程领域中用于分析和预测材料在复杂应力状态下是否发生破坏的理论。
等效应力是各强度理论基于应力应变构建的用于评价结构强度的标量应力。常用用强度理论有：最大拉应力理论、最大主应变理论、最大剪切应力理论、最大等效应力理论、摩尔-库伦强度理论。
一、最大拉应力理论(第一强度理论)
基本假定：该理论认为不论材料处于什么应力状态，最大拉应力是引起材料发生脆性断裂的原因。
破坏条件：当材料的最大拉应力达到或超过某一极限值时，材料将发生脆性断裂。即σ1＞σb。
适用情况: 试验表明，脆性材料在二向或三向受拉断裂时，最大拉应力理论与试验结果相当接近；而当存在压应力作用时，只要最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多，最大拉应力理论也是正确的。因此，最大拉应力理论适用于玻璃、陶瓷、石料、灰口铸铁等脆性材料。
但这一理论没有考虑其他两个主应力的影响，且对于没有拉应力的状态(如单向压缩、三向压缩等），无法应用。
强度校核表达式：
式中，σ1---为构件危险点处的最大拉应力；
[σ]---为材料单向拉伸许用应力；
σb---为材料强度；
n---为安全系数。
在ANSYS workbench中，可查看菜单栏下的对应的第一主应力情况。对于第一强度理论，在应力工具中对应最大拉伸应力，如下图：
图8 最大拉应力的校核
此外，在强度校核时，官方对软件中有关系数等输出的结果解释如下:
安全系数safety factor（系数大于1，表示安全）:
应力比stress ratio(系数小于1，表示结是安全)：
Slimit---为材料的限制应力，即许用应力。
二、最大主应变理论(第二强度理论)
基本假定：即最大伸长线应变理论，这一理论认为
不论材料处在什么应力状态，最大伸长线应变ε1是引起脆性断裂的原因。
破坏条件：当材料的最大伸长线应变ε1达到或超过某一极限值时，材料将发生脆性断裂。即第一主应变达到单向拉伸时的极限值，即断裂。
适用情况: 此理论对一拉一压的二向应力状态、且压应力较大的脆性材料的断裂较符合。石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第二强度理论的结果相近。
但是需注意，① 应变由应力引起，拉应变并不一定由拉应力引起。② 轴向压缩时、或二向压应力状态时、二向拉应力状态时、或三向压应力状态时不适合用该理论。其实验结果中只有很少的材料与第二强度理论的结果吻合，因此已经很少使用。
workbench中并未对此理论的强度校核设置专门的后处理选项(如图8中无此理论对应的选项)。如果需要采用，需通过自定义的方式输入强度校核表达式进行校核。
强度校核表达式：
若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工作则:
式中，σ1、σ2、σ3---构件危险点处的主应力；
[σ]---为材料单向拉伸许用应力；
ε1---为最大主应变。
三、最大剪切应力理论（第三强度理论）
基本假定：该理论认为不论材料处于什么应力状态，最大剪应力是引起材料屈服失效的原因。
破坏条件: 当材料有一点的最大剪应力τmax达到单向拉伸屈服剪应力时，材料就在该处出现明显''塑性变形或屈服。即Tresca强度失效。
适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。
该理论没有考虑中间主应力σ2的影响，但最大误差不超过15％，且在大多数情况下小于此。第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。理论所提供的计算比较简单，故在工程设计中得到了广泛的应用。但它不能解释三向均值拉应力作用下可能发生断裂的现象。
强度校核表达式:
复杂应力状态最大剪应力:
强度条件：
式中，σ1、σ3---危险点的第一和第三主应力；
[σ]---为材料许用剪应力；
τs---单向拉伸屈服剪应力。
在ANSYS workbench中，可查看菜单栏下的最大剪应力情况。对于第三强度理论，在应力工具中对应临界剪切应力，如下图：
图9 临界剪切应力校核
对于临界剪切应力的校核需注意，软件中的因数选项，其默认为0.5，恰好对应第三强度理论：
此外，软件官方对软件中有关系数等输出的结果解释如下:
安全系数（系数大于1，表示结构安全）:
剩余安全系数（系数大于0，表示结构安全）：
应力比(系数小于1，表示结是安全)：
上式中: τmax---为临界剪切应力；
Slimit---材料的限制应力;
f---为因数，默认为0.5。
四、畸变能密度理论（第四强度理论）
基本假定：该理论也称形状改变比能理论，即von-mises强度。该理论认为不论材料处于什么应力状态，畸变能密度或者说形状改变比能ud是引起材料屈服的原因。
破坏条件: 复杂应力状态下材料的形状改变比能ud达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时，材料即会发生屈服失效。其中：
适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。适用于钢、铜、铝等金属材料。对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，考虑σ1 、σ2 、σ3 三个主应力的共同的影响，在工程中得到了广泛应用。
注意Von Mises应力假设材料的屈服行为符合线性弹性塑性模型，因此不适用于所有材料。对于具有非线性屈服行为的材料，如某些金属和复合材料，可能需要采用其他强度理论。
强度(von-mises）校核表达式:
等效应力：
式中，σ1、σ2、σ3---构件危险点处的主应力；
[σ]---为材料许用应力；
σs---为材料强度。
在ANSYS workbench中，可查看菜单栏下“等效（Von Mises）”应力情况。对于第四强度理论，在应力工具中对应最大等效应力，如下图：
图10 最大等效应力校核
对于等效应力的校核，软件官方对软件中有关系数等输出的结果解释如下:
安全系数（系数大于1，表示结构安全）:
剩余安全系数（系数大于0，表示结构安全）：
应力比(系数小于1，表示结是安全)：
上式中: σe---为临界剪切应力；
Slimit---材料的限制应力。
五、摩尔-库伦强度理论
基本假定：莫尔-库伦强度理论，也称为M-C强度理论，该理论认为最大切应力是引起材料屈服剪断的主要原因，但需要考虑了剪切面上正应力的影响。
破坏条件: 该理论是以各种应力状态下材料的破坏试验结果为依据，考虑了材料拉、压强度的不同，当剪切应力和法向应力的组合达到一个临界值时，材料会发生断裂。
理论起源及屈服准则:
18世纪，库仑根据粘性土的试验结果，提出了岩土力学中普遍应用的抗剪强度公式(库伦公式)：
1900年，莫尔对最大剪切强度理论作了修正，提出了莫尔强度理论，认为：材料发生破坏是由于材料的某一面上剪应力达到一定的限度，而这个剪应力与材料本身性质和正应力在破坏面上所造成的摩擦阻力有关。即材料发生破坏除了取决于该点的剪应力，还与该点的正应力相关。
莫尔根据实验结果，应用莫尔应力圆来表述他的理论，如下:
① 当一点处于二向应力状态(平面应力状态)，通过该点的任意截面的法向应力和剪切应力都位于下图的圆周线上。
图11 平面应力状态的摩尔圆
② 当一点处于三向应力状态(空间应力状态)，通过该点的任意截面的法向应力和剪切应力都位于下图的绿色 区域。
图12 空间应力状态的摩尔圆
摩尔圆中，当同一试样在不同大小主应力下达到极限状态所得摩尔应力圆的包络线为一条曲线。如下图。
图13 摩尔包络线
为了简化计算，将莫尔应力圆的包络线简化为直线，假定强度极限值是同一平面上法向应力的线性函数，即由库仑公式表示莫尔包线，于是就形成了莫尔—库仑理论。在该理论下，我们以法向应力为横坐标，以剪切应力为纵坐标绘制应力圆与斜直线，可得如下图所示莫尔-库伦强度理论的应力圆图解：
图14 莫尔-库伦强度理论的应力圆图解
上图14中，当某点处最大的应力圆在斜直线的内部，表示材料不失效，相反则材料失效。内摩擦角φ和粘聚力c决定了材料的断裂失效边界。
通过以上理论，推导莫尔库仑屈服准则，并用主应力表示。具体求解表示方法可参阅《强度失效准则(三) Mohr-Coulomb屈服准则》一文。
对于三维应力空间，摩尔-库伦屈服准则在主应力空间的解析表达式通常表示为：
该解析表达式所表示的屈服面在三维主应力空间的图像如下图15所示。
图15 主应力空间下的M-C屈服面
对于二维情况，莫尔强度理论的二维应力空间图解如下图16所示。
Sc为抗压强度；St为抗拉强度
图16 M-C二维屈服曲线(轨迹)
适用范围: 莫尔-库伦强度理论考虑了材料抗拉和抗压能力不等的情况，这符合脆性材料(如岩石混凝土等)的破坏特点。适用于拉伸和压缩屈服强度不一致，差异比较大的材料，如岩土材料。
强度校核方式:在ANSYS workbench中，提供了莫尔-库伦应力工具，如下图：
图17 摩尔-库伦应力校核
摩尔-库伦理论认为当材料失效由第一主应力与材料拉伸限制应力比值和第三主应力与材料压缩限制应力比值共同决定，其表达式为：
安全系数（系数大于1，表示结构安全）:
剩余安全系数（系数大于0，表示结构安全）：
应力比(系数小于1，表示结是安全)：
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本文小结
从本文的介绍，我们知道材料发生屈服或断裂失效，是应力、应变或应变能密度等因素中某一因素引起的，与应力状态无关。
一般来说，在静力拉伸荷载作用下，塑性材料的屈服失效由它的屈服强度所决定；而对于脆性材料，断裂失效由它的抗拉强度决定。
复杂应力状态下，构件的强度校核，实际是根据危险点的应力状态分析，求出主应力σ1、σ2、σ3，并按照相应的强度理论，求出当量应力或等效应力与许用应力进行比较。
实际结构的应力状态是非常复杂的，各强度理论均有一定假设，其应用应满足有关条件。我们在应用强度理论校核构件强度时，应区分材料是塑性的还是脆性的，并选用合适的强度理论。通常最常用的是用试验拉断后的伸长率来区分，如果伸长率大于5%，一般认为就是塑性材料。但其实对于多数的塑性材料，伸长率都会超过10%。
对于脆性断裂的强度理论，如最大拉应力理论(第一强度理论)、最大拉伸线应变理论(第二强度理论)、摩尔-库伦理论(常用于岩土材料)，适用于脆性材料。脆性材料包括: 灰口铸铁、岩石、混凝土、陶瓷、玻璃等材料。
对于塑性屈服的强度理论，如最大剪应力理论(第三强度理论)、最大畸变能理论(第四强度理论)，适用于用于塑性材料。包括:
①金属类：低碳钢、铜、铝等；
②塑料类：聚乙烯(PE)、聚丙烯(PP)、聚氯乙烯(PVC)等 ；
③ 橡胶类：包括天然橡胶和合成橡胶等。
最后，给出《材料力学 | 四大强度理论及其关系》一文中所给出的四大强度理论的应力极限范围对比图，如下:
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来源：薛定谔的Cube
