如何在多体动力学模型中评估齿轮啮合刚度？
在对传动系统进行噪声、振动与舒适度 (NVH) 分析时，齿轮啮合的弹性对于获得有效结果至关重要。为了帮助您创建精确的齿轮仿真，COMSOL Multiphysics® 软件中的新特性和功能使您能够评估齿轮啮合刚度。今天，我们将解释为什么考虑齿轮啮合弹性非常重要，以及如何在多体动力学模型中计算和包含齿轮啮合刚度。
齿轮啮合刚度的重要性
在齿轮发明之前，人们利用摩擦力将一个轴的旋转传递到另一个轴上。使用这种摩擦轮的主要缺点是，当扭矩超过一定值时会发生打滑，因为可传递的最大扭矩受到摩擦扭矩的限制。为了克服这一限制，人们开始使用带齿的轮子，也就是我们现在常说的齿轮。
使用多体动力学模块中的零件库创建齿轮副。
齿轮的主要作用是防止打滑。因此，一个齿轮的齿会插入另一个啮合齿轮的齿之间，这个过程称为齿轮啮合。与齿轮的核心区域相比，齿轮啮合区域的刚度更大。因此，在试图精确捕捉系统的动力学和振动特性时，考虑齿轮啮合的刚度至关重要。
齿轮啮合刚度取决于多个不同的参数，其中最重要的是，它会随齿轮旋转而变化。这使得该问题具有非线性特征，而齿轮啮合刚度的连续变化会导致系统振动。传动系统不同部位的这些振动会产生噪声辐射。因此，评估齿轮啮合刚度并将其纳入齿轮模型至关重要。
利用静态接触分析评估齿轮啮合刚度
为了研究齿轮啮合刚度，我们假设齿轮为弹性体，并建立齿轮间接触模型。然后，我们进行稳态参数分析，以确定齿轮在一个啮合周期内不同位置的啮合刚度。一个啮合周期定义为齿轮旋转一定圈数后，下一个齿到达第一个齿的位置。
为了理解这个过程，我们举个例子，假设有两个齿轮，都由钢制成，它们具有以下特性：
| 特性 | 小齿轮 | 车轮 | |
|---|---|---|---|
| 牙齿数量 | n | ||
| 节圆直径 | d p | 50毫米 | 75毫米 |
| 压力角 | a | ||
| 齿轮宽度 | w g | 10毫米 | 10毫米 |
在这个例子中，两个齿轮都以各自的中心为铰接点。我们采用罚函数接触法来模拟两个齿轮齿之间的接触。两个齿轮的接触边界如下图所示。
齿轮副中的接触面边界（上）和有限元网格（下）。
由于齿轮在啮合周期内不同位置的啮合刚度会发生变化，因此我们对两个齿轮进行参数化旋转，以计算齿轮啮合刚度的变化。小齿轮绕平面外轴的旋转角度 ( θp ) 设定为旋转两个啮合周期。大齿轮绕平面外轴的旋转角度 ( θw ) 定义如下：
其中 g r 为齿轮比，值为 1.5； θ t 为扭转角，值为 0.5°。
车轮被赋予扭转角 θt ，所需的扭矩 T 在铰链处计算。因此，齿轮副的扭转刚度可表示为：
一旦我们知道了扭转刚度，就可以将沿作用线的刚度定义为：
其中 d pw 为车轮节圆直径， α 为压力角。
齿轮副在啮合周期不同位置的冯·米塞斯应力分布图。图中显示，沿作用线接触点处的应力水平较高。
下图显示了两个啮合周期内，小齿轮旋转时计算得到的齿轮啮合刚度的变化情况。我们可以看到，齿轮啮合刚度在每个啮合周期内以及多个啮合周期之间都呈现周期性变化，先增大后减小。这是由于接触比的变化造成的。在啮合周期的初始阶段，接触比从1增大到2，然后又回落到1。
小齿轮旋转时齿轮啮合刚度的变化。
齿轮啮合刚度对不同参数的依赖性
上一节中我们看到，齿轮啮合刚度随齿轮在啮合周期中的位置而变化。它还取决于其他几个参数，其中一些参数列于下方：
牙齿参数
齿数或模块数
压力角（齿面与齿轮切线之间的夹角）
齿顶距（从节圆面到齿顶最外点的径向距离）
几何参数
节圆直径
宽度
材料特性
让我们重点研究齿轮齿形参数对啮合刚度的影响。在此过程中，我们保持与第一个表格中给出的相同的几何和材料属性。
案例一：齿数或模数对网状刚度的影响
为了研究齿数或模数对齿轮啮合刚度的影响，我们考虑小齿轮上不同的齿数值。
小齿轮齿数： np = 20、28、36
然后，我们利用齿轮比（设定为 1.5）计算齿轮的齿数。其他两个齿轮齿参数固定为以下值：
压力角： α = 25°
活塞顶圆直径与节圆直径之比： adr = 0.6
齿轮啮合情况，齿数分别为 n p= 20、28、36。
不同 n p 值下齿轮副的 von Mises 应力分布.
图 1 显示了三种不同齿数（ np= 20、28、36）下，齿轮啮合刚度随小齿轮旋转的变化情况。结果表明，齿数越多或模数越小，刚度变化越明显且越平顺。
案例二：压力角对网格刚度的影响
为了解压力角对齿轮啮合刚度的影响，我们考察了压力角的三个不同值。
压力角： α =20°、25°、35°
另外两个齿轮齿形参数固定为以下值：
小齿轮齿数： np = 20
活塞顶圆直径与节圆直径之比： adr = 0.6
三种不同压力角值（ α = 20°、25°、35°）下的齿轮啮合情况。
齿轮啮合刚度随小齿轮旋转的变化曲线，对应三种不同的压力角（ α = 20°、25°、35°）。刚度随压力角的增大而增大。
案例3：齿顶高与节径比对网孔刚度的影响
在研究了模数和压力角的影响之后，我们现在研究不同齿顶高值对齿轮啮合刚度的影响。
活塞顶高与节圆直径之比： adr = 0.6、0.75、0.9
另外两个齿轮齿形参数固定为以下值：
压力角： α = 25°
小齿轮齿数： np = 20
齿轮啮合情况，齿顶圆直径与节圆直径之比为三个不同的值（ adr = 0.6、0.75、0.9）。
图 1 显示了齿轮啮合刚度随小齿轮旋转的变化情况，其中齿顶圆直径比 (adr) 取三个不同的值（ 分别为 0.6、0.75 和 0.9）。齿顶圆直径越大，刚度越高，但波动也越大。这可能会导致传动系统振动水平升高。
在多体动力学分析中考虑齿轮啮合刚度
利用静态接触分析评估齿轮啮合刚度后，下一步是将刚度纳入齿轮模型，以便对整个传动系统进行 NVH 分析。
沿两个齿轮之间的作用线增加齿轮啮合刚度和阻尼。
在多体动力学分析中，我们使用齿轮副节点下 “齿轮弹性” 节点中计算得到的齿轮啮合刚度。在该分析中，我们将齿轮啮合刚度表示为齿轮旋转的函数。默认情况下，齿轮啮合刚度在一个啮合周期内呈周期性变化。然而，也可以假设其在一个完整旋转周期内呈周期性变化。
为了抑制振动，我们可以在 “齿轮弹性” 节点中添加齿轮啮合阻尼。该阻尼可以作为啮合刚度的函数输入，也可以显式输入。当已知齿轮啮合刚度变化时，后一种方法效果很好。如果无法获得精确的齿轮啮合刚度变化，我们可以使用齿轮和小齿轮的齿刚度。齿刚度可以通过在齿轮齿上施加载荷并测量其挠度来简单地评估。齿刚度也是啮合周期的函数，尽管只是一个近似值，我们可以将其输入为一个常数平均值。
要确定齿轮啮合的整体刚度，还需要确定接触比。简单来说，接触比可以定义为齿轮齿与啮合齿轮啮合和分离期间，平均接触齿数的度量。为了说明不同的接触比值如何影响刚度，我们来看几个例子。
情况 1：接触比为 1
在第一种情况下，啮合周期内的所有位置都只有一对齿处于接触状态。齿轮齿刚度的典型变化如下图所示。
啮合齿对的齿轮齿刚度的典型变化。
情况二：接触比为2
在这种情况下，两对齿轮在啮合周期的所有位置都保持接触。从下图可以看出，除了相位差之外，第二对齿轮的刚度与第一对齿轮的刚度相同。齿轮啮合的总刚度是各个齿轮刚度的总和。
当接触比等于 2 时，第一对齿轮和第二对齿轮齿刚度的典型变化。
情况 3：接触比介于 1 和 2 之间
在第三种情况下，啮合周期中不同位置的啮合齿对会发生变化。某些位置只有一对齿啮合，而其他位置则有两对齿啮合。在啮合周期的某些位置，当第二对齿失去啮合时，其刚度会降至零。这会导致齿轮啮合刚度出现较大 波动，进而引起系统振动。
当接触比在 1 到 2 之间时，第一对和第二对齿轮齿刚度的典型变化。
齿轮啮合刚度对螺旋齿轮动力学的影响
为了演示齿轮啮合刚度对齿轮动力学的影响，我们以一对螺旋齿轮为例。首先，我们进行瞬态分析，比较刚性啮合、恒定刚度啮合和变刚度啮合三种情况。然后，我们分析不同类型的啮合方式对从动齿轮角速度和接触力的影响。有关此教程模型的更多详细信息，请参阅应用案例库 。
下图显示了在主动齿轮角速度恒定的情况下，从动齿轮角速度的变化情况。对于刚性啮合，从动齿轮以恒定速度旋转。当齿轮啮合刚度恒定时，从动齿轮的转速最初会波动，然后逐渐稳定在一个恒定值。而当齿轮啮合刚度变化时，从动齿轮的转速会持续围绕平均值波动，从而产生振动。
不同类型齿轮啮合的从动齿轮角速度。
我们可以观察到接触力也呈现类似的趋势。刚性且刚度恒定的齿轮啮合最终会保持恒定的接触力，而变刚度齿轮啮合则会导致接触力围绕平均值波动。接触力的变化相对于啮合周期呈周期性，其变化范围约为 150 N 至 450 N，平均值为 250 N。这种啮合周期内接触力的大幅变化会引起系统其他部分的振动，并可能导致周围区域的噪声辐射。
不同类型齿轮啮合时，接触力随齿轮旋转的变化情况。
关于齿轮啮合刚度的总结性思考
齿轮啮合刚度的变化取决于多个几何和材料参数，在传动系统的 NVH 分析中起着至关重要的作用。借助 COMSOL Multiphysics 及其多体动力学模块，我们可以将接触分析与零件库中的参数化齿轮相结合，从而计算出齿轮啮合刚度的变化。然后，我们可以将计算得到的齿轮啮合刚度应用于多体动力学模型中，以精确捕捉齿轮与传动系统其他部件协同工作的动力学特性。
