《Mechanics of Solid Polymers》5.3.11 Ogden模型

5.3.11 Ogden模型

        不可压缩的Ogden模型在单轴加载、平面加载和双轴加载情况下的应力表达式分别为：

值得注意的是，如果N = 1且α₂ = 1，那么Ogden模型就等同于NH模型。

Figure 5.21: Treloar实验数据与三项Ogden模型预测的比较

       Ogden模型预测弹性体行为的准确性在图5.21中通过与Treloar [16] 的硫化天然橡胶实验数据的比较进行了展示。图中显示，在这种情况下，3项Ogden模型比NH模型和Mooney-Rivlin模型更准确，但不如Yeoh模型或EC模型准确。

对于不可压缩单轴加载，Ogden材料模型可以使用以下Matlab代码实现：

function[stress] = mat_Ogden(time, strain, params)
%mat_Ogden Ogden超弹性模型
%不可压缩单轴加载
%该函数使用真实应力和应变
mu = params(1:2:end);
alpha = params(2:2:end);
lambda = exp(strain);
fori = 1 : length(lambda)
    stress(i) = sum(2*mu./alpha .* (lambda(i).^alpha - ...
1./(lambda(i).^(alpha/2))));
end
end

对于不可压缩单轴加载，Ogden材料模型也可以使用以下Python代码实现：

from pylab import *
from Polymer_Mechanics_Chap05 import *

defOgden(trueStrain, muVec, alphaVec):
"""Ogden模型。不可压缩单轴加载。
    返回真实应力。"""
    lam = exp(trueStrain)
    res = 0
for i inrange(len(muVec)):
        mu = muVec[i]
        alpha = alphaVec[i]
        res = res + 2*mu/alpha * (lam**alpha - (1/sqrt(lam))**alpha)
return res

trueStrain = linspace(0, 0.8, 100)
trueStress = Ogden(trueStrain, [1.0, 3.0], [3.0, 0.4])

plot(trueStrain, trueStress, 'r-')
xlabel('True Strain')
ylabel('True Stress (MPa)')
grid('on')
show()

以下代码示例展示了一种实现可压缩单轴加载的Ogden材料模型的方法。

defOgden_3D(stretch, param):
"""
    Ogden模型。3D加载由stretch指定。
    param: [mu1, mu2, ..., alpha1, alpha2, kappa]。
    返回真实应力。
    """
    J = stretch[0] * stretch[1] * stretch[2]
    lam = J**(-1/3) * stretch
    N = round((len(param)-1)/2)
    mu = param[0:N]
    alpha = param[N:2*N]
    kappa = param[-1]
    Stress = kappa*(J-1)*eye(3)
for i inrange(N):
        fac = (2/J) * mu[i] / alpha[i]
        tmp = (lam[0]**alpha[i]+lam[1]**alpha[i]+lam[2]**alpha[i])/3
        Stress[0,0] = Stress[0,0] + fac * (lam[0]**alpha[i] - tmp)
        Stress[1,1] = Stress[1,1] + fac * (lam[1]**alpha[i] - tmp)
        Stress[2,2] = Stress[2,2] + fac * (lam[2]**alpha[i] - tmp)
return Stress

Python代码："Ogden_compressible_uniaxial.py"

from pylab import *
from Polymer_Mechanics_Chap05 import *

param = [1.0, 2.0, 1.1, 0.4, 100.0]
trueStrain = linspace(0, 0.8, 5)
trueStress = uniaxial_stress(Ogden_3D, trueStrain, param)

plot(trueStrain, trueStress, 'b-')
xlabel('真实应变')
ylabel('真实应力 (MPa)')
grid('on')
show()

Python代码生成的图表：