数值积分：牛顿-柯特斯公式与代数精度全解析
概述
在微积分的世界里，牛顿-莱布尼茨公式是计算定积分的“正统方法”，但现实的工程问题中，往往需要数值计算。今天帖子讲牛顿-柯特斯数值积分，以及衡量其精度的关键指标——代数精度。
一、为什么需要数值积分？——牛顿-莱布尼茨公式的局限
回忆微积分中的牛顿-莱布尼茨公式：
它能精准计算连续函数的定积分，但以下两类场景中，这个公式会“失灵”：
场景1：被积函数以离散点列 形式给出（比如实验测量数据、数值模拟的输出结果）； 场景2：被积函数的原函数无法用初等函数表示（如 ），或原函数过于复杂，计算成本极高。
这时，数值积分公式就成了破局关键——它通过函数在离散点的函数值“线性组合”，近似计算定积分，核心形式为：
其中：
是求积节点（即选取的离散点）； 是求积系数（线性组合的权重）； 是精确积分值， 是近似积分值。
二、代数精度：数值积分的“精度标尺”
怎么判断一个数值积分公式好不好用？代数精度是最核心的衡量标准之一。
定义
若数值积分公式 满足：
且
则称该公式具有 阶代数精度。
通俗来说：它能对所有次数≤ 的多项式精确积分，但对 次多项式不精确——代数精度越高，公式对“光滑函数”（可近似为高次多项式）的积分近似效果越好。
三、插值型数值积分：从拉格朗日插值到数值积分
数值积分的经典构造方法是插值型数值积分，核心逻辑是“用插值多项式近似被积函数，再对插值多项式积分”。
构造步骤
对被积函数 在节点 处作拉格朗日插值多项式：
（其中 是拉格朗日基函数，描述每个节点对插值多项式的贡献）
用 近似 ，即：
定义求积系数 ，则数值积分公式为：
误差分析
数值积分的误差源于插值多项式的误差，即：
（其中 是插值余项， 是区间内的某点）
特别地，若 是次数≤ 的多项式，则 ，误差 。因此，** 阶插值型数值积分公式至少具有 阶代数精度**。
四、例题实战：构造非等距节点的数值积分公式
题目：建立区间 上以 、 、 为节点的 数值积分公式。
步骤1：构造拉格朗日插值多项式
以 、 、 为节点，构造二次拉格朗日插值多项式 ，其中拉格朗日基函数 定义为：
步骤2：计算求积系数
对于 （节点 ）：
对于 （节点 ）：
对于 （节点 ）：
步骤3：写出数值积分公式
将求积系数代入 ，最终得到：
小结
牛顿-柯特斯数值积分是数值分析的基础工具，代数精度是判断其性能的核心指标。通过“插值型构造法”，我们可以从拉格朗日插值多项式推导出数值积分公式，且这类公式至少具有与节点数匹配的代数精度。
